Основные теоремы и формулы

Введем обозначения: - оригинал; , - изображение.

1). Свойство линейности:

, где

, - оригиналы, , - константы

2). Теорема смещения:

3). Теорема интегрирования изображения:

4). Теорема дифференцированного изображения:

5). Теорема о дифференцировании оригинала:

;

6).Основные формулы:

№	Оригинал	Изображение

2. Определение изображения

2.1 Задачи

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)
28)	29)	30)
31)	32)

2.2 Ответы

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)
28)	29)	30)
31)	32)

2.3. Указания

1) См. ф2	2) См. ф2	3) См. ф2
4) См. ф4	5) См. ф2	6) См. ф5
7) См. ф6	8) См. ф7 ,	9) См. ф8 ,
10) См. ф9 ,	11) См. ф10 ,	12) См. ф13 ,
13) См. ф12	14) См. ф12	15) См. ф13 ,
16) См. ф13 ,	17) См. ф14	18) См. ф17

19) Представить , ф. 2.

20) См. ф22 21) См. решение задачи 20+т.2(смещение)

22) Воспользоваться представлением cost в виде (19), возвести в куб, затем – таблица, ф-ла 2.

23) См. решение задачи 22+т.2(смещение)

24)Воспользоваться представлением в виде (20), затем таблица, ф-ла 7

25)Представить в виде (18), в виде (19)

26)Первый способ: представить в виде (18), затем - формула (13); второй способ: использовать т.4

27) См. решение задачи 26+т.2(смещения)

28) Использовать ф.23

29)см. решение задачи 28+т.2(смещения)

30)-32). Воспользоваться т.3 об интегрировании изображений.

2.4.Решения

20) ,

21) В ответ задачи 20 вместо p подставляем , получаем

22)

23) В ответ задачи 22 вместо p подставляем , получаем

24)

25)

26)

27) В ответе задачи 22 вместо p подставляем , получим

28)

29) В ответе задачи 28 вместо p подставляем

30)

31)

32)

3. Определение оригинала

3.1. Задачи

33)	34)	35)
36)	37)	38)
39)	40)	41)
42)	43)	44)
45)	46)	47)
48)	49)	50)
51)	52)	53)

54)

3.2.Ответы

33)	34)
35)	36)
37)	38)
39)	40)
41)	42)
43)	44)
45)	46)
47)	48)
49)	50)
51)	52)
54)	54)

3.3. Указания

33) См. ф.11	34) См. ф.12	35) См. ф.12
36) См. ф.13	37) См. ф.13	38) См. ф.13
39) См. ф.3	40) См. ф.5	41) См. ф.7
42) См. ф.4	43) См. ф.10

44)Представить числитель в виде , разделить почленно числитель на знаменатель, затем использовать формулы 9,10

45) Представить числитель в виде ,см. указание 44

46)-49) Выделить полный квадрат в знаменателе и свести к использованию формул 7, 9 или 8,10.

50)-53) Необходимо разложить данные в условии рациональные дроби вычисляется как сумма оригиналов соответствующих простейших дробей

50)

51) , , ,

52) , ,

53) , , , ,

54) Разложить на множители знаменатель и преобразовать дробь

3.4. Решение

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39) См.указание 39

40)

41)

42) См.указание 42

43) См.указание 42

44)

45)

46)

47)

48)

См.ф.8,7;

49)

См.ф.9,10;

50)

Найдем коэффициенты

При

При

При

Сравнивая коэффициенты при , получаем

51)

Найдем коэффициенты А,В,C,D

Сравнивая коэффициенты при , , p, , получаем

52)

При

При

При

53)

При С=

При

Перепишем предыдущее равенство в виде

Сравнивая коэффициенты при , , , получаем систему

из которой найдем , ,

Итак,

54)

4. Решение дифференциальных уравнений

4.1 Задачи

Найти частное решение дифференциальных уравнений и систем, соответствующее заданным начальным условиям

55.

56.

56. .

57. ,

58.

59.

60.

61. 62.

63.

4.1. Ответы

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

4.3. Указания

Введем обозначения: , Из теоремы 5 о дифференцировании оригинала следует:

55) - 59). Применим к обеим частям уравнения теорему о дифференци­ровании оригинала (формулы (24)) и свойство линейности преобразо­вания Лапласа. Вместо исходного дифференциального уравнения с на­чальными условиями получаем так называемое -изображающее урав­нение. Последнее всегда является линейным алгебраическим уравнени­ем относительно изображения неизвестной функции

60) -64). Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом проводится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям каждого уравнения, используя формулы (24) и свойство линейности преобразования Лапла­са, получаем так называемую изображающую систему, которая являет­ся линейной алгебраической системой относительно X и Y. Для оп­ределения X и Y здесь можно использовать правило Крамера:

Если то ,

4.4. Решения

5.5.

Учитывая заданные начальные условия, получаем

Следовательно,

Найдем постоянные . Приравнивая числители после приведения к общему знаменателю в выражении для , получим

Полагая , получим . Аналогично при имеем ; и при получаем С= . Таким образом,

2). ;

Найдем постоянные : Отсюда, если p=0, то . p=2 . Приравниваем коэффициенты при в правой и левой частях равенства, получим

. Тогда

3.)

,

Отсюда

Найдем постоянные . Имеем

. Отсюда

при :

при :

при :

4.)

,

,

Приравниваем коэффициенты при и в обеих частях равенства, получим еще два уравнения

:

: .

В итоге , , ,

5).

.

:

:

: . Итак, ,

6).

Получили линейную систему с постоянными коэффициентами относительно неизвестных :

Отсюда x=

y=

7).

8).

9).

10).

Итак,