Основные теоремы и формулы
Введем обозначения: - оригинал;
,
- изображение.
1). Свойство линейности:
, где
,
- оригиналы,
,
- константы
2). Теорема смещения:
3). Теорема интегрирования изображения:
4). Теорема дифференцированного изображения:
5). Теорема о дифференцировании оригинала:
;
6).Основные формулы:
№ | Оригинал | Изображение |
![]() | ||
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() |
2. Определение изображения
2.1 Задачи
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() |
4) ![]() | 5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() | 8) ![]() | 9) ![]() |
10) ![]() | 11) ![]() | 12) ![]() |
13) ![]() | 14) ![]() | 15) ![]() |
16) ![]() | 17) ![]() | 18) ![]() |
19) ![]() | 20) ![]() | 21) ![]() |
22) ![]() | 23) ![]() | 24) ![]() |
25) ![]() | 26) ![]() | 27) ![]() |
28) ![]() | 29) ![]() | 30) ![]() |
31) ![]() | 32) ![]() |
2.2 Ответы
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() |
4) ![]() | 5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() | 8) ![]() | 9) ![]() |
10) ![]() | 11) ![]() | 12) ![]() |
13) ![]() | 14) ![]() | 15) ![]() |
16) ![]() | 17) ![]() | 18) ![]() |
19) ![]() | 20) ![]() | 21) ![]() |
22) ![]() | 23) ![]() | 24) ![]() |
25) ![]() | 26) ![]() | 27) ![]() |
28) ![]() | 29) ![]() | 30) ![]() |
31) ![]() | 32) ![]() |
2.3. Указания
1) См. ф2 ![]() | 2) См. ф2 ![]() | 3) См. ф2 ![]() |
4) См. ф4 ![]() | 5) См. ф2 ![]() | 6) См. ф5 ![]() |
7) См. ф6 ![]() | 8) См. ф7 ![]() ![]() | 9) См. ф8 ![]() ![]() |
10) См. ф9 ![]() ![]() | 11) См. ф10 ![]() ![]() | 12) См. ф13 ![]() ![]() |
13) См. ф12 ![]() | 14) См. ф12 ![]() | 15) См. ф13 ![]() ![]() |
16) См. ф13 ![]() ![]() | 17) См. ф14 | 18) См. ф17 |
19) Представить , ф. 2.
20) См. ф22 21) См. решение задачи 20+т.2(смещение)
22) Воспользоваться представлением cost в виде (19), возвести в куб, затем – таблица, ф-ла 2.
23) См. решение задачи 22+т.2(смещение)
24)Воспользоваться представлением в виде (20), затем таблица, ф-ла 7
25)Представить в виде (18),
в виде (19)
26)Первый способ: представить в виде (18), затем - формула (13); второй способ: использовать т.4
27) См. решение задачи 26+т.2(смещения)
28) Использовать ф.23
29)см. решение задачи 28+т.2(смещения)
30)-32). Воспользоваться т.3 об интегрировании изображений.
2.4.Решения
20) ,
21) В ответ задачи 20 вместо p подставляем , получаем
22)
23) В ответ задачи 22 вместо p подставляем , получаем
24)
25)
26)
27) В ответе задачи 22 вместо p подставляем , получим
28)
29) В ответе задачи 28 вместо p подставляем
30)
31)
32)
3. Определение оригинала
3.1. Задачи
33) ![]() | 34) ![]() | 35) ![]() |
36) ![]() | 37) ![]() | 38) ![]() |
39) ![]() | 40) ![]() | 41) ![]() |
42) ![]() | 43) ![]() | 44) ![]() |
45) ![]() | 46) ![]() | 47) ![]() |
48) ![]() | 49) ![]() | 50) ![]() |
51) ![]() | 52) ![]() | 53) ![]() |
54)
3.2.Ответы
33) ![]() | 34) ![]() |
35) ![]() | 36) ![]() |
37) ![]() | 38) ![]() |
39) ![]() | 40) ![]() |
41) ![]() | 42) ![]() |
43) ![]() | 44) ![]() |
45) ![]() | 46) ![]() |
47) ![]() | 48) ![]() |
49) ![]() | 50) ![]() |
51) ![]() | 52) ![]() |
54) ![]() | 54) ![]() |
3.3. Указания
33) См. ф.11 | 34) См. ф.12 | 35) См. ф.12 |
36) См. ф.13 | 37) См. ф.13 | 38) См. ф.13 |
39) См. ф.3 | 40) См. ф.5 | 41) См. ф.7 |
42) См. ф.4 | 43) См. ф.10 |
44)Представить числитель в виде , разделить почленно числитель на знаменатель, затем использовать формулы 9,10
45) Представить числитель в виде ,см. указание 44
46)-49) Выделить полный квадрат в знаменателе и свести к использованию формул 7, 9 или 8,10.
50)-53) Необходимо разложить данные в условии рациональные дроби вычисляется как сумма оригиналов соответствующих простейших дробей
50)
51)
,
,
,
52)
,
,
53)
,
,
,
,
54) Разложить на множители знаменатель и преобразовать дробь
3.4. Решение
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39) См.указание 39
40)
41)
42) См.указание 42
43) См.указание 42
44)
45)
46)
47)
48)
См.ф.8,7;
49)
См.ф.9,10;
50)
Найдем коэффициенты
При
При
При
Сравнивая коэффициенты при , получаем
51)
Найдем коэффициенты А,В,C,D
Сравнивая коэффициенты при ,
, p,
, получаем
52)
При
При
При
53)
При
С=
При
Перепишем предыдущее равенство в виде
Сравнивая коэффициенты при ,
,
, получаем систему
из которой найдем ,
,
Итак,
54)
4. Решение дифференциальных уравнений
4.1 Задачи
Найти частное решение дифференциальных уравнений и систем, соответствующее заданным начальным условиям
55.
56.
56.
.
57.
,
58.
59.
60.
61.
62.
63.
4.1. Ответы
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
4.3. Указания
Введем обозначения: ,
Из теоремы 5 о дифференцировании оригинала следует:
55) - 59). Применим к обеим частям уравнения теорему о дифференцировании оригинала (формулы (24)) и свойство линейности преобразования Лапласа. Вместо исходного дифференциального уравнения с начальными условиями получаем так называемое -изображающее уравнение. Последнее всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно изображения неизвестной функции
60) -64). Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом проводится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям каждого уравнения, используя формулы (24) и свойство линейности преобразования Лапласа, получаем так называемую изображающую систему, которая является линейной алгебраической системой относительно X и Y. Для определения X и Y здесь можно использовать правило Крамера:
Если то
,
4.4. Решения
5.5.
Учитывая заданные начальные условия, получаем
Следовательно,
Найдем постоянные . Приравнивая числители после приведения к общему знаменателю в выражении для
, получим
Полагая , получим
. Аналогично при
имеем
; и при
получаем С=
. Таким образом,
2). ;
Найдем постоянные :
Отсюда, если p=0, то
. p=2
. Приравниваем коэффициенты при
в правой и левой частях равенства, получим
. Тогда
3.)
,
Отсюда
Найдем постоянные . Имеем
. Отсюда
при :
при :
при :
4.)
,
,
Приравниваем коэффициенты при и
в обеих частях равенства, получим еще два уравнения
:
:
.
В итоге ,
,
,
5).
.
:
:
:
. Итак,
,
6).
Получили линейную систему с постоянными коэффициентами относительно неизвестных :
Отсюда x=
y=
7).
8).
9).
10).
Итак,