Аналитическая геометрия на плоскости. Общее уравнение прямой
Прямая линия
Общее уравнение прямой
.
Две прямые и параллельны, если , перпендикулярны, если . Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой , до прямой определяется формулой:
.
Условие параллельности двух прямых: ,
Условие перпендикулярности : .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку , или уравнение пучка прямых:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :
.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: .
Уравнение прямой в отрезках на осях: .
Пример 1. Через точку провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом к прямой (АВ): .
Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку :
,
.
Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него , получаем уравнение с угловым коэффициентом ; .
1. .
Уравнение : или .
2. .
Уравнение : или .
3. Прямая образует с угол . Обозначим ее угловой коэффициент через и воспользуемся формулой
; =1. Имеем , так как искомое может совпадать с или .
1) ; ; .
2) ; ; .
Искомые прямые
: или .
: или .
Пример 2. ; ; вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.
Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки
; ;
(АС): или ; .
2)
(ВН): ; ; .
3) ВМ – медиана, М – середина АС,
; ;
(ВМ): ; ; .
4) Длина высоты равна расстоянию от точки В до прямой АС
; (ед.).
5) ; ;
; .
.
Кривые второго порядка
Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.
Если В=0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.
Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов:
1. – линии эллиптического типа:
– эллипс с центром полуосями а и b.
Если то уравнение запишется в виде
– окружность с центром радиуса R.
2. – линии гиперболического типа:
– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. – линии параболического типа.
Здесь возможны четыре случая:
либо – параболы с вершиной , где .
В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором –
Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:
1) :
– точка .
– мнимый эллипс.
2) : или
– пара пересекающихся прямых:
3) : или – пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно , , . , , , . Любой вектор может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
, , ,
.
Числа , , проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора в базисе .