Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары
1-анықтама.А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі жүзеге асқанда ғана жүзеге асатын оқиға А және В оқиғаларының қосындысы деп аталады, ол А+В немесе АUВ белгіленеді.
А+В = AUB
Жалпы жағдайда, бірнеше оқиғалардың қосындысы деп, бұл оқиғалардың ең болмағанда біреуі жүзеге асқанда ғана пайда болатын оқиғаны айтады.
Мысалы, А оқиғасы бірінші рет атқанда нысанаға тию, В оқиғасы екінші рет атқанда нысанаға тиюді білдірсін. Сонда С=A+B оқиғасы жалпы нысанаға тиюді (бірінші ретте ме, екінші ретте ме немесе екеуінде де) білдіреді.
Теорема. Екі немесе бірнеше оқиғалардың біреуінің немесе бірнешеуінің пайда болуының ықтималдығы әр оқиғаның ықтималдықтарының алгебралық қосындысына тең:
Бір-біріне байланыссыз толық группалар құрайтын оқиғалардың ықтималдығы 1-ге тең.
Р(А+В+С+…)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+…=1.
Мысал. Оқу бөлімінде 3 көрші облыстан тексеруге дәптерлер сырттан келіп жатады. 1-ші облыстан дәптерлер келді дегеннің ықтималдығы – 0,35, 2-шіден – 0,25.
1) түскен дәптер не 1-ші не 2-ші облыстан екендігінің ықтималдығын табу керек.
2) түскен дәптер 3-ші облыстан дегеннің ықтималдығын табу керек.
Шешімі: Енді А деген 1-ші облыстан келген дәптерлерді белгілейміз, В – 2-ден, С – 3-ден.
1) Р (немесе А, немесе В)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,35+0,25=0,60.
2) А,В,С оқиғалары толық группаны құрайды:
Қарама – қарсы оқиғалар, мысалы, А-ға қарама – қарсы оқиға деп белгілейді.
Егер Р(А)=Р болса, онда Р( )=1–р=q.
Р(Анемесе ) =Р(А)+Р( ) = р+q=1.
Мысалдар:
а) “ашықкүн”, “күн бұлынғыр” яғни жаңбырлы күн.
б) “нысанаға дәл тию”, “нысанаға тимеу”, яғни қалт кету, т.с.с.
2-анықтама.А және В оқиғаларының екеуі де бір уақытта жүзеге асқанда ғана жүзеге асатын оқиға А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп аталады, ол А В немесе А∩В арқылы белгіленеді. Жалпы жағдайда бірнеше оқиғаның көбейтіндісі деп, бұлардың барлығы да бір уақытта жүзеге асқанда пайда болатын оқиғаны айтады.
Мысалы, А оқиғасы 36 картадан тұратын жиыннан таңдамай алынған картаның тұз екендігін, В оқиғасы қарға тұз шығуды білдірсе, онда С=AB оқиғасы қарғаның тұзы шығуын білдіреді.
2-анықтамаға негізделіп үйлесімсіз және үйлесімді оқиғалар үшін мынадай анықтамалар беруге болады.
1теорема.Бір-бірінен байланысты емес оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланыссыз оқиғалардың екеуінің немесе бірнешеуінің бірдей пайда болуының ықтималдығы: Р(және А, және В)=Р(А)·Р(В), Р(және А1, және А2,…және Аn)=Р(А1)·Р(А2)·Р(Аn).
2 теорема. Бір-біріне байланысты оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланысты оқиғалардың біреуі немесе бірнешеуі орындалдының ықтималдығы біреуінің ықтималдығын бірінші оқиға орындалуы деп Рв(А) екіншісінің ықтималдығының көбейтіндісіне тең, яғни Р (және А1 және В)=Р(А)·Ра(В), Р(және А1, және А2,…және Аn)=Р(А1)·Ра1(А2)·… ·Р а1…n-1 (Аn).
А оқиғаларының: А1… Аn–ең болмағанда біреуінің орындалуының оқиғалары және В оқиғаларының – орындалмайды дегеннің оқиғалары, яғни Р(А)+Р(В)=1, немесе Р(А)+Р( )=1, Р(А)=1-Р( )=1, Р( )·Р( )·…·Р( )=1–g1…gn .
Егер Р( )=Р( )=…=Р( )=р, онда Р(А)= 1–gn .
1 мысал. Студент 40 сұрақтың 30-ын сенімді біледі. Студент алған билеттің 3 сұрағын да біледі дегеннің ықтималдығын табе керек?
Шешімі: оқиғаларды белгілейік. Студент бірінші сұрақты білетіндігін А дейік, В – екінші сұрақты білетіндігі, С – үшінші сұрақты, Д – үш сұрақты да білетіндігі. А,В,С – бір-біріне байланысты сұрақтар: Р(А)= , Ра(В)= , Рав(С)= , Р(Д)=Р(және А, және В, және С)=Р(А)· Ра(В)· Рав(С)= · · =0,41.
2 мысал. Зеңбіректен атылған 1 оқтың нысанаға тура тиетіндігінің ықтималдығы 0,8. Нысана 3 рет атылды. Нысанаға
1) 2 рет оқ тиды дегеннің
және
2) оқтың 1-еуі ғана тиды дегеннің ықтималдығы қандай?
Шешімі: Шарт бойынша нысанаға бір рет атылған оқтың дәл тиюінің ықтималдығы 0,8, ал тигізбеудің ықтималдығы q=1 – p – 0,8=0,2.
1) А оқиғасы ̶ нысанаға бір оқтың тиюінің оқиғасы бір-біріне үйлеспейтін үш оқиғадан тұрады: А1 ̶ бірінші оқтың нысанаға дәл тиюінің оқиғасынан, яғни 2-ші, 3-ші атыс жаңылыс кеткен болып есептеледі; А2 ̶ екінші рет атқанда деп тиетінің оқиғасы, онда 1-ші, 3-ші ретте кеткен атылыстар; А3 – 3-ші атыста дәл тиеді деген оқиға, онда 1-ші, 2-ші атыста оқ тимеген болып саналады.
“Тию” және “тимеу” байланыссыз оқиғалар, енді ықтималдықтың көбейту теоремасы бойынша: Р(А1)=0,8·0,2·0,2=0,032, Р(А2)=0,2·0,8·0,2=0,032, Р(А3)=0,2·0,2·0,8=0,032.
Және Р(А)=Р(немесе А1, немесе А2, немесе А3) = Р (А1)+ Р (А2)+ Р (А3)=0,096.
Жауабы: Р(А)=0,096.
1) В оқиғасы - “нысанаға ең аз дегенде 1 ғана рет оқ тиеді” және “нысанаға бір де оқ тимеді”. Тимей кетті дегеніміз қарама-қарсы оқиға, сондықтан:
2) .
Жауабы: Р(В)= 0,992.
3 мысал.Университет А,В және С қалаларынан бақылау жұмыстары жазылған пакеттер қабылдайды. А қаласынан алу ықтималдығы 0,7 , В қаласынан қабылдау ықтималдығы 0,2-ге тең. Келесі пакетті С қаласынан қабылдау ықтималдығын табыңыз.
Шешімі: «Пакет А қаласынан алынады», «Пакет В қаласынан алынады», «Пакет С қаласынан алынады» деген оқиғалар толық жиын құрады, сондықтан 0,7+0,2+Р=1, Р=1─0,9=0,1.
Сонымен кезекті пакетті С қаласынан қабылдау ықтималдығы 0,1 екен.