Числом e называется предел

Аксиомы действительных чисел

Множеством называется множество, на котором выполняются следующие условия:

Во множестве определена операция “сложение”:
a. (сложение коммутативно);
b. (сложение ассоциативно);
с. (наличие нейтрального элемента);
d. (наличие противоположного элемента).
Число называется разностью чисел и и обозначаются .

В определена операция “умножение”:
а. (коммутативность умножения);
b. (ассоциативность умножения);
с. (наличие нейтрального элемента);
d. (наличие противоположного элемента).
– частное деление на и обозначается или .

Выполняетсядистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
.
либо , либо .

При этом, если и , .

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если , то пишут ;

Если , то пишут ;

Если , то пишут .

Для множеств:
Для
Запись означает, что .
Если (множество из одного элемента) и , то .
Непрерывность множества заключается в том, что в нет “щелей”, а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

.
Неравенство Бернулли
Пусть . Тогда

Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при . Докажем его справедливость при . Действительно:

;

.

Что и требовалось доказать.

Аксиома полноты или непрерывности множества веще- ственных чисел состоит в следующем. Если X и Y — непустые подмножества R, обладающие тем свой- ством, что для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y выполнено x ≤ y, то существует такое c ∈ R, что x ≤ c ≤ y для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y . Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве R позволяет считать это множество кон- кретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел

Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа ^[3].

Геометрическая иллюстрация аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } и {\displaystyle B\subset \mathbb {R} }, такие что для любых двух элементов {\displaystyle a\in A} и {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство {\displaystyle a\leqslant b}, существует такое действительное число {\displaystyle \xi }, что для всех {\displaystyle a\in A} и {\displaystyle b\in B} имеет место соотношени{\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества {\displaystyle A} и {\displaystyle B} таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число {\displaystyle \xi }, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов {\displaystyle A} (кроме, возможно, самого {\displaystyle \xi }) и левее всех элементов {\displaystyle B} (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется.

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа.^{[источник не указан 1856 дней]} Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

· (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится

· (Теорема Больцано — Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка

· (Существование степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого {\displaystyle a>0} и целого {\displaystyle n\geqslant 1} существует {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}, то есть решение уравнения {\displaystyle x^{n}=a,x>0}.

19. Предел монотонной ограниченной последовательности.

Теорема Вейерштрасса

Теорема

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограниченной.

Замечание

Если последовательность монотонная, то для того, чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Число е (число Эйлера)

Используя теорему Вейерштрасса, можно показать, что последовательность является сходящейся, то есть имеет предел. Данный предел равен числу е - числу Эйлера, которое является основанием натурального логарифма:

20. Теорема (Бенулли, неравенство):

light: hard:

20. Теорема Кантора

В теории множеств теорема Кантора гласит, что

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

21. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

здесь е - число Эйлера. является основанием натурального логарифма.

Число e, второй замечательный предел

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

Данный предел называют вторым замечательным пределом.

Число е

Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .

Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но

явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается

символом е»2,7128.

23. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.