Риведение квадратичной формы к диагональному виду.

Определение. Пусть в евклидовом пространстве V³задана декартова система координат (x, y, z), k( ) – квадратичная форма, имеющая вид (12), A – её матрица.

Если в пространстве ввести другую систему координат, то тем же точкам будут соответствовать другие координаты, а значение функции в этих точках должно остаться прежним. Поэтому выражение (12) должно иметь другой вид. Пусть C – матрица перехода к новой системе координат (x¢, y¢, z¢), а A¢ – матрица квадратичной формы k( ) относительно новой системы. Тогда матрицы A и A¢ связаны между собой формулой

A¢= C^ТAC. (11)

Если новые координаты тоже являются декартовыми, то C – ортогональная матрица, т.е. C^Т= C^-1; в этом случае A¢= C^-1AC. Именно по этому закону изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису. Поэтому мы можем сопоставить квадратичной форме (10) оператор, A: V³ ® V³ определяемый матрицей A относительно системы координат (x, y, z). Тогда в любой декартовой системе координат квадратичная форма k( ) и поставленный ей в соответствие оператор будут иметь одинаковые матрицы (т.к. законы преобразования матриц одинаковы). Поскольку матрица A является симметрической, то оператор A будет самосопряженным.

Матрицу линейного оператора A можно привести к диагональному виду (5) с помощью выбора подходящего ортонормированного базиса B¢= {, , }. Если сохранить прежнее начало координат, то этот базис оп-ределит в пространстве новую систему координат (x¢, y¢, z¢), относительно которой матрица квадратичной формы будет иметь такой же диагональный вид, а, значит, сама квадратичная форма будет иметь диагональный вид

k( ) =l₁x¢² + l₂ y¢² + l₃z¢² (13)

В задачах на приведение квадратичной формы к каноническому виду обязательно нужно выписать формулы перехода от старых координат (x, y, z) к новым координатам (x¢, y¢, z¢):

X¢= C^-1X, (14)

или формулы перехода от новых координат к старым:

X = CX¢, (14¢)

где C – матрица перехода, а X и X¢ – координатные столбцы:

X = , X¢= .

Напомним, если переход от одного аффинного базиса B = {, , } к другому аффинному базису B¢= {, , } осуществляется по формулам

= c₁¹ + c₁² + c₁³,

= c₂¹ + c₂² + c₂³, (15)

= c₃¹ + c₃² + c₃³,

то матрица C составляется следующим образом:

C = , (16)

Тогда в развернутом виде формулы (14¢) имеют вид:

x = c₁¹x¢ + c₂¹y¢ + c₃¹z¢,

y = c₁²x¢ + c₂²y¢ + c₃²z¢, (14¢)

z = c₁³x¢ + c₂³y¢ + c₃³z¢.

Предположим, что старая и новая системы координат являются декартовыми. Тогда, как уже отмечалось, матрица C перехода от старой системы координат к новой будет ортогональной, т.е. C^Т= C^-1. Поэтому формулы (14) принимают вид X¢= C^ТX и составляются особенно просто:

x¢= c₁¹x + c₁²y + c₁³z,

y¢= c₂¹x + c₂²y + c₂³z,

z¢= c₃¹x + c₃²y + c₃³z.

Для решения задач, связанных с приведением уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, нам понадобятся именно формулы (14¢), выражающие старые координаты через новые.

Пример 3.В пространстве V³ квадратичная форма k() определяется относительно декартовой системы координат (x, y, z) формулой

k( ) = 3y² + 4xy - 2xz - 4yz.

С помощью выбора новой системы координат (x¢, y¢, z¢) привести k() к диагональному виду.

Решение. Составим матрицу квадратичной формы k() относительно системы координат (x, y, z). Имеем 3 = a₂₂, 4 = 2a₁₂, -2 = 2a₁₃, - 4 = 2a₂₃, а т.к. x² и y² отсутствуют, то a₁₁= a₃₃ = 0. Итак,

A = .

Мы видим, что матрица A совпадает с матрицей из примера 2, находим собственные числа и соответствующие им собственные векторы

l₁ = -1, ,

l₂ = -1, ,

l₃ = 5, ,

Тогда, если выбрать новую систему координат (x¢, y¢, z¢) с тем же началом, но определяемую базисом B¢= {, , }, то квадратичная форма k( ) примет диагональный вид

k() = -x¢² - y¢² + 5z¢².

Новые координаты выражаются через старые по формулам:

x¢= x + z,

y¢= x - y - z,

z¢= x + y - z,

Старые координаты выражаются через новые по формулам:

x = x¢ + y¢ + z¢,

y = - y¢ + z¢, (17)

z = x¢ - y¢ - z¢,