Задачи для контрольных заданий

Саратовский государственный технический университет

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

и контрольные задания

для студентов-заочников химико-технологических

специальностей

Одобрено

Редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Л и т е р а т у р а: [1], гл. 4; [3], гл. 3; [4], гл. II; [5], гл. VI; [6], гл. IV.

1.Полярная система координат представляет собой полюс О и полярную ось ОЕ с выбранным на ней масштабом.

Произвольная точка М в полярной системе координат имеет две координаты ( ), где - полярный радиус, - полярный угол.

Рассмотрим полярную и прямоугольную системы координат такие, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ох.

Прямоугольные координаты (х,у) точки М и ее полярные координа-

ты ( ) связаны соотношениями:

,

, (1) 2. Определение конечного предела в точке:

Число А называется пределом функции при , если для любого существует такое, что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство:

Обозначим или при

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Две функции и одновременно стремящиеся к нулю или к бесконечности при , называются эквивалентными, если

Обозначим

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

, если , . (19)

3. К основным элементарным функциям относятся:

1) Степенная функция ,

2) Показательная функция ,

3) Логарифмическая функция ,

4) Тригонометрическая функция , , , ;

5) Обратные тригонометрические функции: , , , .

Предел элементарной функции в точке, принадлежащей области определения функции равен ее значению в этой точке, т.е. .

При вычислении пределов могут получаться неопределенности вида: , , , , . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1) Сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2) Деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (при );

3) Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4) Использование двух замечательных пределов;

- I замечательный предел

- II замечательный предел

Отметим также, что: , если ;

, если , ,число

, если , ;

, если , .

4. Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке ;

2) существуют конечные односторонние пределы функции:

, ;

3) односторонние пределы равны:

;

4) предельное значение функции в точке равно ее значению : .

Обозначим .

Точка называется точкой устранимого разрыва, если (нарушается условие 4).

Точка называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но (нарушается условие 3).

Точка называется точкой разрыва второго рода, если не существует хотя бы один из односторонних пределов (нарушение условия 2).

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно) , - мнимая единица,

- действительная часть, - мнимая часть комплексного числа , - модуль и аргумент числа .

Если известны действительная x и мнимая часть , то находим по формулам: , .

Если известны и , то x, y находим по формулам: , .

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.)

Извлечение корня n-й степени (n-натуральное число) из числа производится по формуле:

;

где - арифметический корень из модуля 2, = 0, 1,2,…, n-1.

6. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Если r – радиус окружности, а точка С (a, в) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение

7. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(с,0) и F₂(-c,0), то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

,

где - большая полуось,

- малая полуось.

, и с (половина расстояния между

фокусами) связаны соотношением

8. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точки F₁(-c, 0) и F₂(c, 0), то получится каноническое уравнение гиперболы: , где - действительная полуось, - мнимая полуось, , , с связаны соотношением .

9. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка

F , то уравнение параболы имеет вид: .

В зависимости от расположения фокуса и директрисы парабола имеет следующий геометрический вид и уравнение:

10. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Охy к новой системе О₁х₁y₁, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Если (х₀, y₀) – координаты начала координат О₁ новой системы в старой системе координат,

(х, y) – координаты произвольной точки М в старой системе Охy, - координаты точки М в новой системе Ох₁y₁, то следующие формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым и наоборот: .

Пример 1.Найти полярные координаты точки .

Р е ш е н и е. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М:

.

Чтобы выяснить, какой из 2-х углов будет полярным углом точки М, надо изобразить точку на координатной плоскости:

Так как точка III четверти, то .

Пример 2.Построить по точкам график функции в полярной системе координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось– с полярной осью. Определить вид кривой.

Р е ш е н и е. Так как полярный радиус неотрицателен, т.е. , то , откуда , значит, вся кривая расположена в верхней полуоси.

Составим вспомогательную таблицу: .

Номер точек
	0,38	0,71	0,92		0,92	0,71	0,38
	2,61	1,41	1,08		1,08	1,41	2,61

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом , откладываем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полученные точки.

Найдем уравнение кривой в полярной системе координат. Для этого заменим и их выражениями через x и y по формулам (1):

; .

Получаем:

- это уравнение прямой, параллельной оси Ох.

Пример 3. Найти .

Р е ш е н и е. Подставляя вместо х его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию: ; . Поэтому .

Пример 4. Найти .

Р е ш е н и е. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х²:

.

Функции и являются бесконечно малыми при .

Пример 5.Найти .

Р е ш е н и е. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида используем метод замены бесконечно малых функций эквивалентными. Так как при , то на основании формулы (19) находим

Пример 6.Найти .

Р е ш е н и е. Подстановка х = 1 приводит к неопределенности вида . Сделаем замену переменных: , . Тогда

.

Здесь использован II замечательный предел.

Пример 7.Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме при .

Р е ш е н и е. Очевидно, что при оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем пределы отношения суммы к каждому из них:

Следовательно, функция при эквивалентна второму слагаемому.

Пример 8.Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематически график функции.

Р е ш е н и е. Функция не определена, и, следовательно, разрывна в точках и , где знаменатели обращаются в нуль.

Исследуем эти точки, для чего вычислим односторонние пределы при и .

Для точки имеем:

Односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой. Следовательно, точка - точка разрыва первого рода.

Для точки получаем

Односторонние пределы при не существуют. Следовательно, точка - точка разрыва второго рода.

Построим схематический график данной функции. Так как

,

то графиком функции является смещенная по оси Оy гипербола с горизонтальными асимптотами при

и при .

Пример 9.Изобразить на комплексной плоскости числа:

1) , 2) .

Записать число в тригонометрической, а число - в алгебраической форме.

Р е ш е н и е. 1) Для числа имеем , . Откладывая по оси Ох , а по оси Оy , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу .

Запишем число в тригонометрической форме: Модуль числа находим по формуле

.

Аргумент определяем по формуле: .

Так как число четверти, то .

Тригонометрическая форма имеем вид: .

2) Модуль числа равен , а аргумент . Для изображения этого числа на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной . Полученная точка соответствует числу .

Его действительная часть , а мнимая часть . Таким образом, алгебраическая форма числа имеем вид .

Пример 10.Вычислить (см. пример 9).

Р е ш е н и е. Используя формулу, получаем

=0, 1, 2

При =0 ;

При =1 ;

При =2

Пример 11.Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. Определить вид кривой и построить ее график.

Р е ш е н и е. Выделим в левой части полный квадрат по переменной х:

Делим левую и правую часть на 9:

- это уравнение эллипса.

Чтобы записать уравнение в каноническом виде, нужно осуществить параллельный перенос, т.е. перейти к новым координатам: .

Получим каноническое уравнение эллипса:

= 3 – большая полуось,

= - малая полуось.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.

Контрольная работа № 1.

I. По координатам вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ найти: 1)длины ребер А₁А₂ и А₁А₃; 2)угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃; 3)площадь грани А₁А₂А₃; 4)объем пирамиды; 5)уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃; 6)уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄; 7) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄.

1. А₁(-1; 2; 1), А₂(-2; 2; 5), А₃(-3; 3; 1), А₄(-1; 4; 3).

2. А₁(-1; 1; -1), А₂(-3; 1; 3), А₃(-4; 2; -1), А₄(-2; 3; 1).

3. А₁(1; 1; 2), А₂(0; 1; 6), А₃(-1; 2; 2), А₄(1; 3; 4).

4. А₁(-1; -2; 1), А₂(-2; -2; 5), А₃(-3; -1; 1), А₄(-1; 0; 3).

5. А₁(2; -1; 1), А₂(1; -1; 5), А₃(0; 0; 1), А₄(2; 1; 3).

6. А₁(-1; 1; -2), А₂(-2; 1; 2), А₃(-3; 2; -2), А₄(-1; 3; 0).

7. А₁(1; 2; 1), А₂(0; 2; 5), А₃(-1; 3; 1), А₄(1; 4; 3).

8. А₁(-2; -1; 1), А₂(-3; -1; 5), А₃(-4; 0; 1), А₄(-2; 1; 3).

9. А₁(1; -1; 2), А₂(0; -1; 6), А₃(-1; 0; 2), А₄(1; 1; 4).

10. А₁(1; -2; 1), А₂(0; -2; 5), А₃(-1; -1; 1), А₄(1; 0; 3).

II. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1)найти ее решение с помощью формул Крамера; 2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

III. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

IV.Определить собственные значения и собственные векторы матрицы.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.