Интегрирование тригонометрических функций.
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется следующее соотношение: F’(x)=f(x), (F(x)+const)’=f(x). Вывод: для любой функции f(x) мы получаем целое семейство первообразных F(x)+c.
Теорема: любые 2 первообразные отличаются друг от друга на const.
f(x)dx – подынтегральное выражение.
Неопределенным интегралом будем называть любую первообразную на некотором интервале функции f(x). Основные свойства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Таблица основных интегралов:
| f(x) | F(x) | f(x) | F(x) | f(x) | F(x) | f(x) | F(x) |
| dt | t+c | dt/t | ln/t/+c | ||||
| arctg(t)+c (-arcctg(t)+c) | |||||||
| sin(t)dt | -cos(t)+c | cos(t)dt | sin(t)+c | ||||
| -ctg(t)+c | tg(t)+c | ||||||
| arcsin(t)+c (-arccos(t)+c) |
Основные методы интегрирования:
- Табличное интегрирование.
- Тождественные преобразования.
- Подведение под знак дифференциала.
- Метод замены переменной.
- Интегрирование по частям - .
Основные классы интегрируемых функций.
Интегрирование простейших дробей:
1. .
2. .
3. - сводится к табличному, выделение полного квадрата, внесение под дифференциал - . Частный случай – выделение полного квадрата под корнем.
4. - по реккурентной формуле, за 1 шаг понижаем степень на единицу.
Интегрирование дробно-рациональных функций - , n<m – правильная дробь, n>=m – неправильная дробь, выполнить деление.
Основной метод интегрирования правильной дроби состоит в разложении правильной дроби на простейшие дроби:
- Для некратного корня получаем в разложении на множители - .
- В случае кратности корней – сумма k дробей.
- В случае комплексного корня - .
- В случае кратных комплексных – сумма k дробей.
Всего в разложении знаменателя присутствуют 4 вида скобок, которые по стилю совпадают с 4 видами простейших дробей.
Самый простой вариант – корни в знаменателе не кратные. Каждому некратному корню будет соответствовать 1 дробь разложения.
Каждому кратному будет соответствовать сумма дробей в разложении, пока степень кратной последней дроби не понизится до 1.
В числителе каждой дроби разложения записывается многочлен с неопределенными коэффициентами степени на 1 меньше, чем степень внутри скобки.
Необходимо найти неизвестные коэффициенты при дробях в разложении.
Теорема 1: Для получения неопределенного коэффициента сравнивают дроби в левой и правой части, т.к. дроби равны, д.б. равны и числители.
Теорема 2: Для нахождения неопределенного коэффициента можно просто приравнивать многочлены в левой и правой части при одинаковых значениях x.
Интегрирование тригонометрических функций.
1. , , - по формулам.
2. - четная степень понижается - , .
3. - хотя бы m или n – нечетная, одну единицу из нечетной степени отделить и занести эту функцию под дифференциал, оставшуюся четную степень можео поменять на противоположную.
4. - использовать замену: ; . После такой замены под интегралом получаем дробно-рациональную функцию.
5. - замена t=tg(x) (вторая универсальная тригонометрическая подстановка), .
6. - замена tg(ax)=t, .