Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка. Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка. Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли!!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru пишем ноль.
Уравнение Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru я буду называть вспомогательным уравнением.

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Таким образом:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – общее решение вспомогательного уравнения Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru .

На втором шаге заменим константу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru некоторой пока ещё неизвестной функцией Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , которая зависит от «икс»:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Отсюда и название метода – варьируем константу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru . Как вариант, константа Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru может быть некоторой функцией Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru проведём замену:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

По правилу дифференцирования произведения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Подставим Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru и Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru в уравнение Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru :
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

К найденной функции Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru приплюсовываем «нормальную» константу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru :
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Функция Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru только что найдена!

Таким образом, общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Ответ: общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)

Решение: Приведем уравнение к виду Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru :
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Разделяем переменные и интегрируем:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Общее решение вспомогательного уравнения: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В неоднородном уравнении проведём замену:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

По правилу дифференцирования произведения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Подставим Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru и Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru в исходное неоднородное уравнение Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru :
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Интегрируем по частям. Вкусная буква Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В итоге: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Теперь вспоминаем проведённую замену:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Ответ: общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)
Решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Разделяем переменные и интегрируем:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В неоднородном уравнении проведем замену:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Выполним подстановку:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Таким образом, общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Ответ: частное решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка. Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Составим и решим характеристическое уравнение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Обратите внимание на запись общего решения Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , заменяя их неизвестными функциями Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru . То есть, общее решение неоднородногоуравнения будем искать в виде:

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , где Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ruпока ещё неизвестные функции.

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru . Наша цель – найти производные Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru и записываем:

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Найдем производные:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

С левыми частями разобрались. Что справа?

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – это правая часть исходного уравнения, в данном случае: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Коэффициент Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – это коэффициент при второй производной:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

На практике почти всегда Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Систему обычно решают по формулам Крамера, используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Находим производную:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru восстанавливается интегрированием:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Здесь добавляем «нормальную» константу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Разбираемся со второй функцией:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Здесь добавляем «нормальную» константу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Нужные функции только что найдены!
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка. Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части. Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка, значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши.

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – получены различные действительные корни, поэтому общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , где Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ruпока ещё неизвестные функции.

Составим систему:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В данном случае:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Находим производные:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Таким образом:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Систему решим по формулам Крамера:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , значит, система имеет единственное решение.

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Восстанавливаем функцию Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru интегрированием:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Такой интеграл решается методом замены переменной:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Из самой замены выражаем:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Таким образом:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата, но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Обе функции найдены:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В результате, общее решение неоднородного уравнения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru :

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Подставим найденные значения констант Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru в общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать ;-)

Конец.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Разделяем переменные и интегрируем:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В неоднородном уравнении проведем замену:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Выполним подстановку:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Таким образом, общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Ответ: частное решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Пример 5: Решение: Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Составим систему:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В данном случае:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru ,
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Таким образом:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Систему решим по формулам Крамера:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , значит, система имеет единственное решение.
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В результате:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Ответ: общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Пример 7: Решение: Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru – кратные действительные корни, поэтому общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Составим систему:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В данном случае:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Таким образом:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Кто-то будет мучиться с экспонентами, но счастье – вовремя заметить, что каждое уравнение можно сократить на Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru !
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Систему решим по формулам Крамера:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru , значит, система имеет единственное решение.
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
В результате общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru .
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Подставим найденные значения констант в общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru
Ответ: частное решение: Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений - student2.ru

Наши рекомендации