Органические и неорганические последовательности
Математика
Вопрос №1
Числовые последовательности. Действия над последовательностями.
Ответ
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Действия над последовательностями
Пусть {xn} и {yn} произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.
Суммой (разностью) последовательностей {xn} и {yn}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей {xn} и {yn}.
Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {xn} и {yn}, в случае частного .
Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {xn} на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.
▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство
▼ Последовательность {уn} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство
|yn|>M
Пример. уn=( –1)n – 1n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M|, |yn|>M при n N.
▼ Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство
Вопрос №2
2.Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные и строго монотонные последовательности.
Ответ
Органические и неорганические последовательности
Определение. Последовательность {xn} принято называть ограниченной, в случае если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
ᴛ.ᴇ. всœе члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}принято называть ограниченной сверху, в случае если для любого n существует такое число М, что
xn £ M.
Определение. Последовательность {xn}принято называть ограниченной снизу, в случае если для любого n существует такое число М, что
xn ³ M
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а принято называть пределом последовательности {xn}, в случае если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всœех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходится к а при n®¥.
Свойство: В случае если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.