Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментомсистемы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:K_xy = μ_1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))).Для дискретных случайных величин

для непрерывных случайных величин Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции . Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y K_xy = 0. В этом случае f(x,y) = =f₁(x)f₂(y), тогда Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимы-ми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то r_xy = ±1. Найдем возможные значения коэффициента корреляции.Теорема 9.1. Доказательство. Докажем сначала, что Действительно, если рассмотреть случай-ную величину и найти ее дисперсию, то получим: . Так как дисперсия всегда неотрицательна, то откуда Отсюда что и требовалось доказать.

20. Случайные функции. Понятие случайной функции. Математическое ожидание случайной функции.Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х:Y = φ(X). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ(X), φ(x) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ(у) – функция, обратная к φ(х), то плотность распределения g(y) случайно функции Y равна:

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.

Пусть Y = φ(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х.

1)Если Х – дискретная случайная величина, то

(10.2)

2)Если Х – непрерывная случайная величина, то M(Y) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g(y), то

Если же g(y) найти сложно, то можно использовать известную плотность распределения f(x):

В частности, если все значения Х принадлежат промежутку (а, b), то