Графики обратных тригонометрических функций
Построим график арксинуса
Перечислим основные свойства функции :
Область определения: , не существует значений вроде
или
Область значений: , то есть, функция
ограничена.
Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .
В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: ,
,
. Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.
Построим график арккосинуса
Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной.
В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой», или, строго говоря – это «функция общего вида по отношению к свойству чётности».
Построим график арктангенса
Всего лишь перевернутая ветка тангенса.
Перечислим основные свойства функции :
Область определения: , или «множество всех действительных чисел»
Область значений: , то есть, функция
ограничена.
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: ,
.
Арктангенс – функция нечетная: .
Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: ,
.
К графику арккотангенса приходиться обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:
Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отметим, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией, а является «функцией общего вида по отношению к свойству чётности».
Пределы функций
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Мы не будем рассматривать строгое определение предела, а сделаем две вещи:
* Поймём, что такое предел.
* Научимся решать основные типы пределов.
Итак, что же такое предел?
Пример: .
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известный значок предела (это сокращение латинского слова limes - предел).
2) Запись под значком предела, в данном случае . Запись читается: «икс стремится к единице». Чаще всего – именно x, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (
).
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции
при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремитсяк единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем
,
, …,
, ….
То есть выражение «икс стремитсяк единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.