Теории натурального числа

Понятие о натуральном числе и числе ноль в количественной теории. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел. Умножение и деление целых неотрицательных чисел. Деление с остатком. Аксиоматическая теория натурального числа. Аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Аксиоматическое определение сложения и умножения целых неотрицательных чисел.

Литература: [1] с. 247-270, [2] с. 132-135, [3] с. 88-129, [4] с. 53-63, [5] с. 120-135, [6] с.90-102, [7] с. 95-134.

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ

НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

(задания 1 уровня)

1A. Среди приведенных ниже множеств выберите те, с помощью которых можно дать теоретико-множественное определение числа 5:

а) множество пальцев на руке человека;

б) множество нечетных цифр;

в) множество сторон параллелограмма;

г) множество лепестков у розоцветных.

1Б. Какие из высказываний истинны:

а) сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует;

б) существует разность любых двух целых неотрицательных чисел;

в) неверно, что существует разность любых двух целых неотрицательных чисел.

2А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 3:

а) множество зимних месяцев;

б) множество сигналов светофора;

в) множество дней недели;

г) множество стадий развития бабочки-капустницы.

2Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению сложения целых неотрицательных чисел:

а) А={a, b, c, d}, B={d, e, f, g}.

б) А={1, 3, 5, 7, 9}, В={2, 4, 6, 8}. в) А={с, т, о, л}, В=∅.

3А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 1:

а) множество нулей в записи числа сто;

б) множество объективов фотоаппарата;

в) множество вершин угла;

г) множество дней недели.

3Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению сложения целых неотрицательных чисел:

а) А={к, л, м, н, о}, В={л, н, о}.

б) А={х| хÎN, х£10} В={х| хÎN, х<1}.

в) А={Δ, Ú, Ù,⊂}, В={1,2}.

4А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 7:

а) множество ребер треугольной пирамиды;

б) множество дней недели;

в) множество цветов радуги;

г) множество четных натуральных чисел до 10.

4Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению разности целых неотрицательных чисел:

а) А={к, л, м, н, о}, В={л, н, о}.

б) А={1,2}, В={х| хÎN, х£ 4}.

в) А={Î, Ï, È, Ç}, В={Þ, Ú, Ù}.

5А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 2:

а) множество медиан треугольника;

б) множество концов отрезка;

в) множество сторон угла;

г) множество прямых углов в треугольнике.

5Б. Какие из высказываний истинны:

а) для любых множеств А и В n(В¢_А)=n(А)–n(В).

б) существуют множества А и В, для которых n(В¢_А)=n(А)–n(В).

в) существуют множества А и В, для которых n(А¢_В)=n(В)–n(А).

0А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 4:

а) множество звуков октавы;

б) множество диагоналей ромба;

в) множество конечностей у млекопитающих;

г) множество делителей числа 6.

Решение: Т. к. число 4 – это количество элементов в равномощных множествах, которые состоят из 4 элементов, то ответ а – не подходит, т.к множество звуков октавы состоит из 8 элементов; б – не подходит, т.к.множество диагоналей ромба состоит из 2 элементов; в – подходит, т.к. число конечностей у млекопитающих – 4; г – подходит, т.к. множество делителей числа 6 состоит из 4 элементов {1; 2; 3; 6}.

0Б. Какие из высказываний истинны:

а) для любых множеств А и В n(А)+n(В)=n(АÈВ).

б) для любых множеств А и В n(А)+n(В)³n(АÈВ).

в) существуют множества А и В, такие что n(А)+n(В)=n(АÈВ).

Решение: а) Данное высказывание ложно, т.к. если АÇВ≠Ø, то n(А)+n(В)≠n(АÈВ); б) данное высказывание истинно, т.к. если АÇВ=Ø, то n(А)+n(В)=n(АÈВ), а если АÇВ≠Ø, то n(А)+n(В)>n(АÈВ); в) данное высказывание истинно (см. пункт б).

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ

НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

(задания II уровня)

1А. Даны множества А={+, ´, :, –}, В={Ù, Ú, Þ}. Найдите АÈВ. Найдите число элементов объединения множеств А и В двумя способами. Найдите: а) n (А), б) n (В), в) n (А) + n (В).

1Б. Опираясь на количественную теорию, объясните, почему 1 + 3 = 4.

2А. Даны множества А={>, Ù, Ú, Þ, Û} и В={Ù, Ú}. Найдите: а) В¢_А, б) n(В¢_А), в) n (А) и n (В). Верно ли, что n (В¢_А) = n (А) – n (В).

2Б. Пользуясь определением суммы целых неотрицательных чисел, объясните, почему 5 + 0 = 5.

3А. Пусть А – множество месяцев в году. Назовите еще три множества, равномощных множеству А. Какое натуральное число является общим свойством класса множеств, равномощных А.

3Б. С помощью количественной теории дайте обоснование того, что 7 – 4 = 3.

4А. Приведите примеры множеств, равномощных: а) множеству пальцев на руке человека; б) множеству медиан треугольника; в) множеству отрицательных чисел на промежутке [3;5].

4Б. С помощью количественной теории дайте обоснование того, что 5 – 2 = 3.

5А. Какие из высказываний истинны: а) для любых целых неотрицательных чисел а и в число ав есть целое неотрицательное; б) существуют целые неотрицательные числа а и в, произведение которых равно 0; в) произведение любых двух натуральных чисел больше каждого из них.

5Б. Пользуясь определением разности целых неотрицательных чисел, объясните, почему: 7 – 7 = 0.

0А. Приведите примеры множеств, равномощных: а) множеству звуков в слове «Брест»; б) множеству цветов белорусского флага; в) множеству делителей числа 1.

Решение:

а) Множество звуков в слове «Брест» состоит из 5 элементов {б, р, е, с, т}, значит, ему равномощными будут множество пальце на одной руке; множество букв в имени «Света»; множество цифр числа 12345; множество лучей у звезды.

б) Множество цветов белорусского флага состоит из 3 элементов{красный, зеленый, белый}. Значит, ему равномощными будут: множество углов в треугольнике; множество согласных звуков в слове «молоко»; множество цифр числа 538.

в) Множество делителей числа 1 содержит 1 элемент, значит ему равномощными будут: множество голов у одного человека; множество гласных звуков в слове «дом»; множество цифр числа 5.

0Б. Опираясь на количественную теорию, объясните, почему 4 + 2 = 6.

Решение:

Возьмем 2 множества. А={а, в, с, d}, n(А)=4 и В={n, m}, n(В)=2, причем АÇВ=Ø.

Найдем объединение этих множеств: АÈВ={а, в, с, d, n, m}, n (АÈВ)=6. n (АÈВ)= n(А)+n(В). 6=4+2. Значит, 4+2=6.

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ

НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

(задания III уровня)

1А. Объясните, опираясь на количественную теорию, почему: а) 0<2; б) 17³7.

1Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) (а + в) : с = а : с + в : с, б) (а в с d) : m = (а : m)・в с d.

2А. Используя теоретико-множественное определение частного, покажите двумя способами, что 6 : 3 = 2.

2Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) (а – в) : с = а : с – в : с, б) а : (в с) = (а : в) : с.

3А. Объясните, опираясь на количественную теорию, почему: а)5>7; б) 1<3.

3Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) (а + в) – с = (а・с) + в, б) а – (в + с) = (а – в) – с, если а, в, с ÎN_o.

4А. Докажите, опираясь на различные определения произведения целых неотрицательных чисел, что 2・3 = 6.

4Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) (а + в) – с = а + (в – с), б) (а – в) – с = (а – с) – в, если а, в, с ÎN_o.

5А. Используя теоретико-множественное определение частного, покажите двумя способами, что 10 : 5 = 2.

5Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) а – (в – с) = (а + с) – в, б) а – (в – с) = (а – в) + с, если а, в, с ÎN_o.

0А. Докажите двумя способами, что 4・3 = 12.

Решение:

1способ: по определению, произведением числа а на число в называют число, которое удовлетворяет требованиям:

1) а · в = а+а+а+…+а 2) а · 1=а 3) а · 0=0

в раз

Значит, 4·3 = 4+4+4 = 12.

3 раза

2 способ: Воспользуемся определением умножения через декартово произведение. По определению, произведением целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в декартовом произведении А×В, где а = n(А), в = n(В), и а · в = n(А) · n(В)= =n(А×В).

Возьмем множества А и В такие, что n(А) = 4; n(В) = 3.

Пусть А={а; в; с; d}, В ={х; у; z}.

А×В = {(а; х),(а; у),(а; z),(в; х),(в; у),(в; z),(с; х),(с; у),(с; z), (d; х),( d; у), ( d; z)}.

n(А×В) = 12; n(А×В) = n(А) · n(В); 4 · 3 = 12.

0Б. Существуют ли такие целые неотрицательные числа а, в, с, d, что верны равенства:

а) (а + в) + с + d = а + (в + с) + d,

б) (а + в) + (с + d) = (а + d) + (в + с).

Решение:

а) это равенство верно для любых целых неотрицательных чисел, т.к. сумма на множестве целых неотрицательных чисел обладает свойством ассоциативности;

б) для суммы целых неотрицательных чисел справедливы коммутативный и ассоциативный законы, поэтому записанное равенство верно для любых целых неотрицательных чисел.

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ

НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

(задания IV уровня)

1. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 3・4 = 4・3

2. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 3・(1+2) = 3・1 + 3・2

3. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 5 + 1 = 1 + 5

4. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что (2 + 3) + 4 = 2 + (3 +4)

5. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что (2・3)・4 = 2・(3・4)

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ

НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

(задания V уровня)

1. Докажите с помощью метода математической индукции, что 1² + 2² + 3² +…+ n² =

2. Докажите с помощью метода математической индукции, что –1 + 3 – 5 + 7 – 9 +…+ (–1)ⁿ・(2n – 1) = ( –1)ⁿ・n

3. Докажите с помощью метода математической индукции, что 1² – 2² + 3² – 4² +…+ (–1)^n–1・n² = (–1)^n–1

4. Докажите с помощью метода математической индукции, что + +…+ =

5. Докажите с помощью метода математической индукции, что

+ +…+ =