Сумма (разность) матриц
Сумма матриц - действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой.
- Такое действие не определено для этих матриц!
Определение: Для того чтобы получить матрицу, равную сумме (разности) двух исходных матриц, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы:
Пример:
Сложить матрицы 
и 
В соответствии с определением, запишем:
.
Для разности матриц, аналогично, находим разность соответствующих элементов:
Пример:
Найти разность матриц 
и 
.
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу H:
Примечание: В теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
Умножение матриц.
Скажем сразу, правило умножения матриц (есть в любом учебнике по алгебре) выглядит очень странно для неподготовленного слушателя, но мы объясним это на конкретных примерах. Прежде всего: «Какие матрицы можно умножать?»
Следствие (из строгого определения): Для умножения матрицы K на матрицу L слева необходимо, чтобы число столбцов матрицыKравнялось числу строк матрицыL.
Пример:
Можно ли умножить матрицу
на матрицу 
?
, значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если, в данном случае, матрицы переставить местами, то умножение уже невозможно!
, значит, выполнить умножение нельзя, и, вообще, такая запись не имеет смысла:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так, но с разным результатом, т. к. в общем случае KL ¹ LK. Например, для матриц
и 
существует как произведение 
, так и 
.
Как умножать матрицы?
Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.
Начнем с самого простого:
Пример:
Умножить матрицу 
на матрицу
Мы будем сразу приводить формулу для каждого случая:
– попытайтесь сразу уловить закономерность. Поэтому:
Пример сложнее:
Умножить матрицу на матрицу
Формула: 
. В таком случае произведение:
.
В результате мы получили так называемую нулевую матрицу.
Попробуйте самостоятельно выполнить умножение . Правильный ответ - 
.
Обратите внимание, что
! Это почти всегда так!
Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!Если в задании предложено умножить матрицу M на матрицу N, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.
Примеры с матрицами третьего порядка:
Умножить матрицу 
на матрицу 
.
Формула умножения очень похожа на предыдущие формулы:
.
А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:
Умножьте матрицу на матрицу 
.
Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!
.