Возможности математического моделирования

Для любого объекта моделирования свойственны качественные и количественные характеристики. Математическое моделирование отдает предпочтение выявлению количественных особенностей и закономерностей развития систем. Это моделирование в значительной мере абстрагируется от конкретного содержания системы, но обязательно учитывает его, пытаясь отобразить систему посредством аппарата математики. Истинность математического моделирования, как и математики в целом, проверяется не путём соотнесения с конкретной эмпирической ситуацией, а фактом выводимости из других предложений [22, с. 90].

Математическое моделирование представляет собой обширную сферу интеллектуальной деятельности. Это довольно сложный процесс создания математического описания модели. Оно включает в себя несколько этапов. Н. П. Бусленко выделяет три основных этапа: построение содержательного описания, формализованной схемы и создание математической модели [3, с. 44-47]. Математическое моделирование состоит их четырех этапов:

первый – содержательное описание объекта или процесса, когда выделяются основные составляющие системы, закономерности системы. Оно включает в себя числовые значения известных характеристик и параметров системы;

второй – формулировка прикладной задачи или задачи формализации содержательного описания системы. Прикладная задача содержит в себе изложение идей исследования, основных зависимостей, а также постановку вопроса, решение которого достигается посредством формализации системы;

третий – построение формализованной схемы объекта или процесса, что предполагает выбор основных характеристик и параметров, которые будут использованы при формализации;

четвёртый – превращение формализованной схемы в математическую модель, когда идёт создание или подбор соответствующих математических функций.

Исключительно важную роль в процессе создания математической модели системы играет формализация, под которой понимается специфический приём исследования, назначение которого в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структуры как связи компонентов содержания) [22, с. 139]. Процедура формализации предполагает введение символов. Как отмечает А. К. Сухотин: «Формализовать некоторую содержательную область, значит построить искусственный язык, в котором понятия замещены символами, а высказывания – сочетаниями символов (формулами). Создается исчисление, когда из одних знаковых сочетаний по фиксированным правилам можно получить другие» [22, с. 140]. При этом благодаря формализации оказывается выявленной такая информация, которая не улавливается на уровнях содержательного анализа [22, с. 142]. Понятно, что формализация затруднительна по отношению к сложным системам, отличающимся богатством и разнообразием связей.

После создания математической модели начинается её применение для исследования некоторого реального процесса. При этом сначала определяется совокупность начальных условий и искомых величин. Здесь возможны несколько способов работы с моделью: аналитическое её исследование посредством специальных преобразований и решением задач; использование численных методов решения, например метода статистических испытаний или метода Монте-Карло, методами имитационного моделирования случайных процессов, а также посредством применения для моделирования компьютерной техники.

При математическом моделировании сложных систем надо учитывать сложность системы. Как справедливо отмечает Н. П. Бусленко, сложная система является многоуровневой конструкцией из взаимодействующих элементов, объединённых в подсистемы различных уровней. Математическая модель сложной системы состоит из математических моделей элементов и математических моделей взаимодействия элементов [3, с. 54]. Взаимодействие элементов рассматривается обычно как результат совокупности воздействий каждого элемента на другие элементы. Воздействие, представленное набором своих характеристик, называется сигналом. Поэтому взаимодействие элементов сложной системы изучается в рамках механизма обмена сигналами. Сигналы передаются по каналам связи, располагающимся между элементами сложной системы. Они имеют входы и выходы [3, с. 59]. При построении математической модели системы учитывают её взаимодействие с внешней средой. При этом обычно внешнюю среду представляют в виде некоторой совокупности объектов, воздействующих на элементы изучаемой системы. Значительную трудность представляет решение таких задач как отображение качественных переходов элементов и системы из одних состояний в другие, отображение переходных процессов.

Согласно Н. П. Бусленко [3, с. 61], механизм обмена сигналами как формализованная схема взаимодействия элементов сложной системы между собой или с объектами внешней среды включает в себя следующие составляющие:

· процесс формирования выходного сигнала элементом, выдающим сигнал;

· определение адреса передачи для каждой характеристики выходного сигнала;

· прохождение сигналов по каналам связи и компоновка входных сигналов для элементов, принимающих сигналы;

· реагирование элемента, принимающего сигнал, на поступивший входной сигнал.

Таким образом, посредством последовательных этапов формализации, «разрезания» исходной задачи на части осуществляется процесс построения математической модели.