Качественное и количественное описание моделей

Этап абстрагирования при изучении тех или иных физических явлений или технических объектов состоит в выделении их наиболее существенных свойств и признаков, представлении этих свойств и признаков в такой упрощенной форме, которая необходима для последующего теоретического и экспериментального исследований [1]. Такое упрощенное представление реального объекта или явления называют моделью.

При использовании моделей сознательно отказываются от некоторых данных и свойств, присущих реальному объекту для того, чтобы легко получить решение проблемы, если эти упрощения лишь несущественно отражаются на результатах.

В зависимости от цели исследования для одного и того же технического устройства могут быть использованы различные модели: физические, математические, имитационные.

Модель сложной системы можно представить в виде блочной структуры, то есть в виде соединения звеньев, каждое из которых выполняет определенную техническую функцию (функциональная схема). В качестве примера можно рассмотреть обобщенную модель системы передачи, изображенную на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Обобщенная модель системы передачи информации

Здесь под передатчиком понимается устройство, преобразующее сообщение источника А в сигналы S, наиболее соответствующие характеристикам данного канала. Операции, выполняемые передатчиком, могут включать в себя формирование первичного сигнала, модуляцию, кодирование, сжатие данных и т.д. Приемник производит обработку сигналов X(t) = S(t) + x(t) на выходе канала (с учетом влияния аддитивных и мультипликативных помех x) с целью наилучшего воспроизведения (восстановления) переданного сообщения А на приемном конце. Канал (в узком смысле) – это среда, используемая для передачи сигналов от передатчика к приемнику.

Другим примером модели сложной системы служит система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), используемая для стабилизации промежуточной частоты (ПЧ) в радиоприемных устройствах (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Модель системы ФАПЧ

Система предназначена для стабилизации ПЧ f_пч = f_с - f_г путем соответствующего изменения частоты перестраиваемого генератора (гетеродина) f_г при изменении частоты сигнала f_с. Частота f_г в свою очередь будет изменяться с помощью управляемого элемента пропорционально выходному напряжению фазового дискриминатора, зависящему от разности фаз выходной частоты f_пч и частоты эталонного генератора f₀.

Эти модели позволяют получить качественное описание процессов, выделить особенности функционирования и работоспособности системы в целом, сформулировать задачи исследования. Но техническому специалисту этих данных, как правило, недостаточно. Необходимо точно выяснить (желательно в цифрах и графиках) насколько хорошо работает система или устройство, выявить количественные показатели оценки эффективности, сравнить предлагаемые технические решения с существующими аналогами для принятия обоснованного решения.

Для теоретического исследования, получения не только качественных но и количественных показателей и характеристик необходимо выполнить математическое описание системы, то есть составить ее математическую модель.

Математические модели могут быть представлены различными математическими средствами: графами, матрицами, дифференциальными или разностными уравнениями, передаточными функциями, графическим соединением элементарных динамических звеньев или элементов, вероятностными характеристиками и т.д.

Таким образом, первым основным вопросом, который возникает при количественном анализе и расчете электронных устройств является составление с требуемой степенью приближения математической модели, описывающей изменения состояния системы с течением времени.

Графическое изображение системы в виде соединения различных звеньев, где каждому звену ставится в соответствие математическая операция (дифференциальное уравнение, передаточная функция, комплексный коэффициент передачи), называют структурной схемой. При этом основную роль играет не физическая структура звена, а характер связи между входными и выходными переменными. Таким образом, различные системы могут быть динамически эквивалентными и после замены функциональной схемы структурной можно применить общие методы анализа систем независимо от области применения, физической реализации и принципа действия исследуемой системы.

К математической модели предъявляют противоречивые требования: с одной стороны она должна как можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой – быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование. Строго говоря, каждая техническая система (или устройство) является нелинейной и нестационарной, содержащей как сосредоточенные, так и распределенные параметры. Очевидно, что точное математическое описание таких систем представляет собой большие трудности и не связано с практической необходимостью. Успех анализа системы зависит от того, насколько правильно выбрана степень идеализации или упрощения при выборе их математической модели.

Например, любое активное сопротивление (R) может зависеть от температуры, обладать реактивными свойствами на высоких частотах. При больших токах и рабочих температурах его характеристики становятся существенно нелинейными. В то же время при нормальной температуре, на низких частотах, в режиме малого сигнала эти свойства можно не учитывать и считать сопротивление безынерционным линейным элементом.

Усилительные устройства также можно считать безынерционными линейными элементами, если проводить анализ в ограниченном диапазоне частот, при нормальной температуре и в режиме малого сигнала. При расширении области изменения параметров сказывается влияние реактивных элементов (блокировочных и разделительных емкостей), инерционных свойств транзисторов, паразитных обратных связей, проявляется нестационарность (дрейф) и нелинейность характеристик транзистора, то есть математическое описание схемы значительно усложняется.

Таким образом, в ряде случаев, при ограниченном диапазоне изменения параметров можно значительно упростить модель, пренебречь нелинейностью характеристик и нестационарностью значений параметров исследуемого устройства, что позволит, например, производить его анализ с применением хорошо разработанного математического аппарата для линейных систем с постоянными параметрами.

В качестве примера, на рисунке 1.4 показана структурная схема (графическое изображение математической модели) системы ФАПЧ. При небольшой нестабильности частоты входного сигнала можно пренебречь нелинейностью характеристик фазового дискриминатора и управляемого элемента. В этом случае математические модели функциональных элементов, обозначенных на рисунке 1.3 можно представить в виде линейных звеньев, описываемых соответствующих передаточными функциями.

Рисунок 1.4 – Структурная схема (графическое изображение математической модели) системы ФАПЧ

Проектирование электронных схем с помощью программ анализа и опти­мизации на ЭВМ, как отмечалось выше, имеет ряд преимуществ перед традиционным способом про­ектирования «вручную» с последующей доводкой на макете. Во-первых, с помощью программ анализа на ЭВМ гораздо легче наблюдать эффект варьиро­вания параметров схем, чем с помощью экспериментальных исследований. Во-вторых, имеется возможность анализировать критические режимы работы схемы без физического разрушения ее компонентов. В-третьих, программы анализа позволяют оценить работу схемы при наихудшем сочетании парамет­ров, что трудно и не всегда возможно осуществить экспериментально. В-чет­вертых, программы дают возможность провести такие измерения на модели электронной схемы, которые трудно выполнить экспериментально в лаборато­рии.

Применение ЭВМ не исключает экспериментальных исследований (и даже предполагает последующую проверку на макете), но дает в руки проектировщика мощный инструмент, который позволяет значи­тельно сократить затраты времени на проектирование и уменьшить стоимость разработки. Особенно значительный эффект дает ЭВМ при проектировании сложных устройств (например, интегральных микросхем), когда необходимо учесть большое число факторов, влияющих на работу схемы, а эксперименталь­ная переделка слишком дорога и трудоемка.

Несмотря на очевидные преимущества, применение ЭВМ породило большие трудности: необходимы разработка математических моделей компонентов электронных схем и создание библиотеки их параметров, совершенствование математических методов для анализа многообразных режимов работы различных устройств и систем, разработка вычислительных комплексов большой производительности и др. К тому же многие задачи оказались неподвластны и ЭВМ. Для большинства устройств их структура и принципиальная схема в существенно степени зависит от области применения и исходных данных на проектирование, что создает большие трудности при синтезе принципиальных схем с помощью ЭВМ. В этом случае первоначальный вариант схемы составляется инженером «вручную» с последующим моделированием и оптимизацией на ЭВМ. Наибольшие достижения в построении программ структурного синтеза и синтеза принципиальных схем имеются в области проектирования согласующих цепей, аналоговых и цифровых фильтров, устройств на базе программируемых логических матриц (ПЛМ).

При разработке математической модели сложная система разбивается на подсистемы, причем, для ряда подсистем математические модели могут быть унифицированы и сосредоточены в соответствующих библиотеках. Таким образом, при исследовании электронных устройств с использованием программ компьютерного моделирования принципиальная или структурная схема представляет собой графическое изображение компонентов, каждому из которых ставится в соответствие выбранная математическая модель.

Для исследования принципиальных схем применяются модели типовых независимых источников, транзисторов, пассивных компонентов, интегральных схем, логических элементов.

Для исследования систем, заданных структурными схемами, важно указать взаимосвязь входных и выходных переменных. В этом случае выход любого структурного компонента представляют в виде зависимого источника. Как правило, эта взаимосвязь задается либо полиномиальной функцией, либо дробно-рациональной передаточной функцией с использованием оператора Лапласа. С учетом выбранных коэффициентов функций можно получить модели таких структурных компонентов, как сумматор, вычитатель, перемножитель, интегратор, дифференциатор, фильтр, усилитель и другие.

Современные программы компьютерного моделирования содержат десятки типов библиотек различных моделей, причем в каждой библиотеке собраны десятки и сотни моделей современных транзисторов и микросхем, выпускаемых ведущими производителями. Эти библиотеки, зачастую, составляют большую часть от объема программного обеспечения. Вместе с тем, в процессе моделирования существует возможность оперативной коррекции параметров существующих моделей или создания новых.