Точки самопересечения

Исследование и изображение кривой,

Заданной параметрически

Курсовая работа

Курсовая работа защищена на оценку «_________ » «__»_________2014 г.

Исполнитель:Бажина Т.О., студентка Б-21 группы математического факультета очной формы обучения Руководитель:доктор физико-математических наук, профессор Мухин Ю.Н.

Екатеринбург 2014.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………3

Исследование кривой…………………………………………………………5

1.Область определения………………………………………………………......5

2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой x=y

……………………………………………………………………………………6

3.Точки самопересечения………………………………………………………..8

4.Точки пересечения с осями координат……………………………………….9

5. Поведение на концах области определения………………………………....9

6. Уходы в бесконечность………………………………………………………10

7.Асимптоты……………………………………………………………………..11

8.Проверка на гладкость………………………………………………………...13

9.Вертикальные и горизонтальные касательные………………………………14

10.Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб…………………………16

11.Таблица поведения кривой…………………………………………………..18

12.Изображение кривой ………………………………………………………...19

Заключение……………………………………………………………………...20

Библиографический список источников…………………………………....21

ВВЕДЕНИЕ

В доисторические времена человек наблюдал за природными явлениями, формой каких-либо предметов или физических тел. Лучи света, очертания стволов деревьев, листьев растений, линия горизонта, дуга радуги – все это непосредственно привлекало первобытных людей. Эти явления, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления линии.

История развития изучения кривых обширна. Она захватывает почти 40 столетий и связана с именами таких великих математиков как Менехм, Архимед, Декарт, Брианшон, Паскаль, Штейнер, Шаль, Понселе и другие.

В настоящее время в курсах высшей математики широко освещаются методы построение графика функции. Вместе с тем построение кривых, задаваемых параметрически, уделяется мало внимания, и многие стороны этого более сложного исследования почти не затрагиваются. Как следствие, практическая работа, связанная с параметрически заданными кривыми и их построения, представляют собой определенные трудности. В связи с этим тема работы является актуальной.

Для нас, как для будущих учителей математики, исследование и изображение кривых является также немаловажным и выполняет первостепенные функции. Исследование кривой развивает аналитическое и логическое мышление, позволяет правильно конкретизировать мысли, излагая какой-либо научный материал. Навыки изображения кривой помогают решать задачи на построение. С помощью исследования методом дифференцирования развивается чувство абстрактности. А после построения кривой можно наглядно убедиться в правильности и точности всего исследования.

Таким образом, данная тема является особо актуальной для студентов педагогических ВУЗов математической направленности.

Цель исследования: освоить методы исследования и построения плоских кривых, заданных параметрическим способом в прямоугольной системе координат.

Задачи исследования:

1.Изучить литературу по теме курсовой работы.

2. Провести исследование по данному плану.

3. Построить кривую.

Исследование кривой

Исследовать плоские кривые, заданные векторно. Изучить форму кривой:

Область определения.

Областью определения называется множество, на котором задается функция.

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует функция, называется областью определения.

Пусть задано отображение

f: X→Y.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f).

Если функция задана параметрически, то

Найдем область определения для нашей кривой:

;-1) (-1;1) (1;+ )

(- ;-1) (-1;1) (1;+ )

Таким образом, (- ;-1) (-1;1) (1;+ ).

"Концы": - , -1-0, -1+0, 1-0, 1+0, +

Область определения R, кроме t=

Получили, что кривая состоит из трёх ветвей

2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой y=x.

1) Симметрия относительно осей Ох и Oy.

Две точки А иА₁ называются симметричными друг другу относительно прямойm, если прямаяm перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.

При сгибании плоскости чертежа по прямойm – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.

Симметрия относительно оси Ox:

x(t) = x(-t)

y(t) =- y(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Ox

Симметрия относительно оси Oy:

x(t) = -x(-t)

y(t) =y(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Oy.

a) Относительно оси Ох. Достаточное условие симметрии:

x(-t)=x(t)

y(-t)=-y(t)

Следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох.

b) Относительно оси Оу. Достаточное условие симметрии:

x(-t)=-x(t)

y(-t)=y(t)

т.е. х(t) не является нечетной.

, т.е. у(t) не является четной.

Таким образом, симметрия относительно Оy не установлена.

2) Симметрия относительно начала системы координат.

Достаточное условие симметрии:

x(t) = -x(-t)

y(t) = -y(-t)

Если x(t) -x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно начала системы координат.

По доказанному ранее уже известно, что x(t) является четной функцией, т.е.

x(-t)= x(t).

В связи с этим, симметрия относительно начала координат не установлена.

3) Симметрия относительно прямой у=х

Пусть М(х(t), y(t))

M´ симметрична М относительно прямой y=x

Тогда M (y(t), x(t))

Это означает, что существует t₁:M (x(t₁), y(t₁))

t₁ – функция от t должна быть биекцией D на себя, тогда

x(t) = y(t₁)
y(t) = x(t₁)

Чтобы определить симметрию относительно прямой y=x, нужно решить следующую систему:

→

Если подставить в данную систему t = , то система не имеет решение. Симметрия относительно прямой у=х не установлена.

Точки самопересечения.

M (x(t), y(t)) называется точкой самопересечения, если существует такое значение параметра t, что

Чтобы найти точки самопересечения, решим следующую систему уравнений:

(1)

(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2) почленно:

; нет точек самопересечения.

4. Точки пересечения с осями координат.

А) Найдем точки пересечения γ с осью Оy:

;

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Оy.

Б) Найдем точки пересечения γ с осью ox:

;

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Ох.

Таким образом, имеем точку пересечения с осями координат:

О (0;0)- точка пересечения γ с Ох и Оу.