Расчёт балки на упругом основании

Для двутавровой балки, расположенной на упругом основании, при модуле упругости равном E= 210 ГПа требуется:

1.Записать с помощью метода начальных параметров выражения для прогибов v, углов поворота поперечных сечений и, изгибающих моментов Mи поперечных сил Qна всех участках балки.

2.Поставить граничные условия и определить неизвестные начальные параметры.

3.Провести расчеты на компьютере и построить эпюры Q, M, , v.

4.Построить эпюру реактивного отпора основания.

5.Определить реакции опор, если они имеются.

6.Проверить прочность балки, приняв коэффициент надежности по нагрузке , расчетное сопротивление R= 210 МПа и коэффициент условий работы .

Исходные данные

Шифр	Двутавр №	l м	F кН	М кНм	q кН/м	k0 Н/cм3
31-6		6,0

Расчётная схемаАналитическое решение

Для балки в виде стального прокатного двутавра №22 выпишем осевой момент инерции J = J_x = 2550 см⁴ и ширину полки с = 11 см. Обозначим и определим жёсткость балки

Нм .

Для упрощения дальнейших вычислений введём обозначения безразмерной переменной , коэффициента постели k и затем вычислим параметр

1/м.

Запишем с помощью метода начальных параметров выражение для прогиба балки в произвольном сечении

(1)

Здесь v₀, - начальные параметры, представляющие собой прогиб и угол поворота в начале координат, т. е. на левом конце балки z = 0 . Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ – функции А.Н.Крылова, которые определяются из специальных таблиц или по формулам:

(2)

Эти функции обладают свойством повторяемости при дифференцировании

(3)

Пользуясь формулой (1) и далее вытекающими из неё выражениями для характеристик балки, следует помнить, что нагрузки M, F, q имеют знаки, установленные для них в методе начальных параметров и зависящие от их направлений. В частности, в данной задаче эти знаки будут отрицательными.

Неизвестные начальные параметры определим из граничных условий на правом конце балки:

(4)

Смысл уравнений (4) в том, что прогиб и угол поворота правого концевого сечения должны равняться нулю вследствие его заделки.

Запишем выражения для углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил.

. (5)

(6)

(7)

Вычисляем аргументы и значения функций А.Н.Крылова для выполнения граничных условий (4)

, ,

, , .

Раскроем граничные условия (4) с помощью формул (1) - (3). При этом единицы измерения силовых величин для удобства вычислений переведём в килоньютоны.

После элементарных упрощений получена система двух алгебраических уравнений относительно

Решая, имеем

см, рад.

Далее расчёты производим с помощью компьютерной программы кафедры теоретической и прикладной механики. Полученные эпюры приведены на рис. 2. Числа, подписанные для характерных точек, взяты визуально с экрана монитора при многократных увеличениях графиков и обладают высокой степенью точности.

Реакции в правой опоре можно определить по эпюрам изгибающих моментов 2в и поперечных сил 2г или по обращению к компьютеру с запросом. Получено, что они имеют значения

M_l =18,09 кНм, направлен по часовой стрелке,

R_l = 27,82 кН, направлена вверх.

Ординаты реактивного отпора основания определяем по формуле Винклера

.

Здесь знак минус учитывает, что имеют противоположные направления. Результаты счёта на компьютере показаны на рис. 2е. Равнодействующая этой реакции, вычисленная как определённый интеграл методом трапеций, составляет

R = 116,79 кН.

Проверим равновесие балки.

Относительная погрешность составляет

.

Очевидно, что равновесие обеспечено. Вычисления правильны.

Расчётное значение наибольшего изгибающего момента равно:

Выполняем проверку условия прочности

где см - момент сопротивления двутавра №22.

Условие прочности выполняется. Прочность обеспечена.

Решение методом конечных разностей

Изогнутая ось балки описывается обыкновенным дифференциальным уравнением четвёртого порядка

, (8)

k – коэффициент постели, знак минус в правой части соответствует нагрузке, направленной вниз. Разделим уравнение на , обозначим

.

и получим вместо (8)

. (9)

Область непрерывного изменения аргумента заменим областью дискретного изменения аргумента –сеткой (рис. 3)

.

Множество точек с номерами называется сеткой, а сами точки - узлами сетки. Вместо функции непрерывного аргумента будет отыскиваться сеточная функция .

К уравнению (6) присоединяются граничные условия. На левом конце балки изгибающий момент и поперечная сила в сечении равны приложенным нагрузкам

. (10)

На правом конце балки - заделка. Поэтому прогиб и угол поворота сечения равны нулю

. (11)

Пользуясь пятиточечным шаблоном сетки (рис. 4),

заменим производные в задаче (6) – (8) конечноразностными соотношениями:

(12)

Подстановка (12) в задачу (9) – (11) и несложные преобразования приводят к системе алгебраических уравнений относительно вектора

, (13)

где

A = ,

Нулевые элементы матрицы не показаны, значок в индексе соответствует операции транспонирования.

Система уравнений (13) решается на компьютере с помощью подпрограммы пакета математических программ MATLAB, в результате чего становится известным вектор v.

Далее с помощью конечноразностных замен производных вычисляются угол поворота и внутренние силы в сечениях по формулам

.

Реактивный отпор основания определяем, как и в предыдущем варианте решения, с помощью формулы Винклера

.

Результаты счёта, выданные в виде графиков на экран компьютера, почти точно совпадают с данными эпюр, изображённых на рис. 2.