Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
2.1. Локальный экстремум функции
Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 , х0 .
Определение. Точку х0 назовем точкой локального максимума ( локального минимума ) функции f , если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалу (х9- δ, х0+ δ) справедливо неравенство f(х)≤ f(х0) ( f(х)≥ f(х0) ) .
На рис. 4 изображен график функции, для которой х1 является точкой локального максимума, а х2 – точкой локального минимума.
Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума функции.
Теорема 1. (Теорема Ферма)Если функция дифференцируема в точке её локального экстремума, то производная функции в этой точке равна нулю.
► Пусть точка х0 является точкой локального максимума функции f , и пусть f дифференцируема в этой точке . Тогда существует , а также односторонние производные
и
, причем
. Найдется δ > 0 такое, что для всякого х , принадлежащего интервалу (х0 - δ, х0+ δ) справедливо неравенство f(х) ≤ f(х0). Следовательно, при х
(х0 - δ, х0)
≥ 0 , а при х
(х0 , х0+ δ)
≤ 0. Отсюда и из теоремы определьном переходе а неравенстве (гл.1, п. 4.5) следует:
=
=
. Но
; значит,
, и потому
0.
В случае локального минимума доказательство аналогично. ◄
Следствие. Пусть функция f дифференцируема в точке х0 , а её производная в этой точке отлична от нуля: 0. Тогда х0 не является точкой локального экстремума функции.
2.2. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа
Теорема 2(Теорема Ролля) Пусть функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируема на интервале (a,b) , а на его концах принимает одинаковые значения: f(a) =f(b). Тогда на интервале (a,b) существует хотя бы одна точка, производная в которой равна нулю.
► Так как f непрерывна на [a,b], она ограничена на нем, и на [a,b] существуют точки и
такие,что f(
) = m, f(
) = M, где
(гл. 1, п. 5.3). Очевидно, m≤ M. Если m= M, то функция тождественно на сегменте [a,b] равна константе, а тогда ее производная тождественно на интервале (a,b) равна нулю; следовательно, в случае m= M утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь m < M. Так как f(a) =f(b), то хотя бы одна из точек
и
должна быть внутренней точкой сегмента, т.е. она принадлежит интервалу (a,b). Такая точка, очевидно, является точ- кой локального экстремума; по теореме Ферма производная функции в ней равна нулю.◄
Укажем на геометрический смысл доказанной теоремы. На рис. 5 изображен график функции f, удовлетворяющей условию теоремы Ролля. В частности, значения функции в точках a и b одинаковы. Рисунок наглядно демонстрирует, что на графике имеются точки, касательная в которых параллельна оси абсцисс. Если М0 (х0 ,у0) - такая точка, то
(см. п.1.5).
Теорема 3.(Теорема Коши) Пусть функции f и g непрерывны на сегменте [a,b] , a<b, дифференцируемы на интервале (a,b) , причем производная не принимает значение нуль на этом интервале. Тогда на (a,b) существует точка ξ такая , что
.
► Заметим: g(b) ≠ g(a). Действительно, если бы имело место равенство g(b) = g(a), то функция g удовлетворила бы условию теоремы Ролля. Значит, производная должна была бы обратиться в нуль хотя бы одной точке интервала (a,b), что противоречит условию доказываемой теоремы.
Обозначим:
, F(x) = f(x) -
g(x). Нетрудно убедиться, что функция F(x) удовлетворяет на [a,b] всем требованиям условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале (a,b) найдется точка ξ , в которой производная
принимает значение нуль:
0. Отсюда:
.◄
Теорема 4.(Теорема Лагранжа) Если функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a<b, и дифференцируема на интервале (a,b), то на интервале (a,b) найдется точка ξтакая, что f(b) – f(a) = (b – a).
► Пусть g (х) = х на сегменте [a,b]. Нетрудно увидеть, что функции f и g удовлетворяют всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (a,b) най- дется точка ξ такая,что , т.е.
, что и требовалось доказать. ◄
Замечание 1. Равенство
f(b) – f(a) = (b – a)
называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она имеет прозрачный геометрический смысл. В равенстве слева стоит тангенс угла наклона к оси абсцисс хорды АВ, где А(а,f(а)) , B(b,f(b)), а справа – тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции в точке М (ξ, f(ξ)) ( рис. 6) . Значит, хорда и касательная параллельны. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа можно сформулироватьтак: на графике функции существует точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, стягивающей его концы.
Замечание 2. Пусть х0 – некоторая точка числовой оси, h ≠ 0, и пусть функция f непрерывна на сегменте,ограниченном точками х0 и х0 + h ( здесь возможно и h>0 , и h<0) и дифференцируема на интервале, ограниченном теми же точками. Тогда по теореме Лагранжа f(х0 + h) – f( х0) = h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х0 и х0 + h. Это равенство можно записать так: Δ f(h) =
h. Так как ξ лежит между х0 и х0 + h , то можно подобрать число θ, 0 < θ < 1, так, чтобы выполнялось ξ = х0 + θ h; тогда Δ f(h) =
+ θ h) h.
2.3. Правило Лопиталя
Теоремы предыдущего пункта имеют многочисленные приложения в анализе. В частности, на них опирается так называемое правило Лопиталя – способ вычисления предела функции, который часто оказывается наиболее простым и эффективным.
Теорема 5.Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и .
Если , где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и
.
► Пусть х – точка, выбранная на (a, b). На сегменте [х,b] зададим две функции и
:
,
Эта пара функций удовлетворяет на сегменте [х,b] всем требованиям условия теоремы Коши; значит, на интервале (х,b) существует точка – обозначим её через ξ (х) - такая, что
, т.е.
. Здесь х – произвольная точка интервала (х,b) , и так как х < ξ (х) < b, то при
ξ (х) стремится к b слева. Отсюда следует:
. ◄
Теорема 6.Пусть функции α и β дифференцируемы на некотором интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и . Если
, где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и
.
Доказатедьство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 5.
Теорема 7.Пусть функции α и β дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки х0
, причем β′(х) ≠ 0 в
,и
. Если
, где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и
.
► Множество представляет собой обьединение двух интервалов (a, х0) и (х0 , b), где a и b - некоторыечисла такие, что a < х0 < b. Так как
, то
. Применив к (a, х0) теорему 5, а к (х0 , b) теорему 6, получим:
и
; значит,
. ◄
Пример 1. Вычислить .
► В проколотой окрестности нуля = (-1,0)
(0,1) числитель α(х) = tgx – x и знаменатель β(x) = arcsinx – ln(1+x) дифференцируемы, а производная β′(x) не принимает значение 0: при х
(-1,0)
(0,1)
Кроме того,
, и
По теореме 7 искомый предел
. ◄
Если в тексте теоремы 5 заменить интервал (a, b) на интервал (a,+∞), а символ на символ
, то получится формулировка теоремы, справедливость которой можно доказать ([3], § 12, п.1). Приведем пример её применения.
Пример 2. Вычислить .
► Числитель α(х) = π – arctgx и знаменатель β(x) = ln arctgx дифференцируемы на (0,+∞), а производная β′(x) =
не прини- мает значение 0 на этом интервале. Кроме того,
, а
.
Значит, искомый предел также равен –π. ◄
Справедливы теоремы, аналогичные теоремам 6 и 7. Формулировку одной из них можно получить, заменив в формулировке теоремы 6 интервал (a, b) на (- ∞, b), а символ на
. Другая теорема получается при замене в тексте теоремы 7 проколотой окрестности
окрестностью бесконечности и
символом
.
Выше правило Лопиталя ( предел отношения функций равен пределу отношения их производных) применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых. Это правило применяется и при вычислении предела отношения двух бесконечно больших. Чтобы получить формулировки теорем, на которых оно основывается в случае бесконечно больших функций, нужно в формулировках приведенных выше теорем полагать функции α и β бесконечно большими. Для примера приведем формулировку теоремы, аналогичной теореме 5: пусть функции α и β дифференцируемы на интервале (a, b), a<b, причем β′(х) ≠ 0 на (a, b), и
. Если
, где А есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то и
.
Пример 3. Вычислить и
, где a >1, μ > 0.
► Здесь числители и знаменатели являются бесконечно большими при х→ +∞. Они дифференцируемы на (0, +∞), причем производные знаменателей не принимают на этом интервале значение 0. Имеем: .
. Если 0 < μ ≤ 1, то последний предел равен, очевидно, нулю; значит, при 0 < μ ≤ 1
= 0. Если же μ > 1, то
есть предел отношения двух бесконечно больших, и можно снова приме- нить правило Лопиталя:
=
. Если 1 < μ ≤ 2, то последний предел равен нулю; значит( с учетом предыдущего результата), при 0 < μ≤ ≤ 2
= 0. Если же μ > 2, то
есть предел отношения двух бесконечно больших, и мы вновь обращаемся к правилу Лопиталя.
Таким образом, для любого μ > 0 , применив правило Лопиталя n+1 раз, где n есть целая часть μ, получим: = 0. ◄
В теоремах и рассмотренных выше примерах правило Лопиталя применялось для вычисления предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций. В других ситуациях, чтобы можно было воспользоваться этим правилом, следует предварительно преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы свести задачу к отысканию предела отношения двух бесконечно малых или или двух бесконечно больших функций.
Пример 4. Вычислить .
► Имеем: =
. Вычислим
. Чтобы можно было воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение под знаком предела:
. Предел отношения двух бесконечно больших находим по правилу Лопиталя:
. Итак,
=
=
= 1. ◄
2.4. Формула Тейлора
Пусть n – натуральное число, большее единицы, а х0 – вещественное число.
Определение. Будем говорить, что функция f n раз дифференцируема в точке х0 , если эта функция , а также её производные до порядка n-1 включительно дифференцируемы в точке х0 .
Функция, дифференцируемая в точке, определена в некоторой её окрестности, , причем в этой точке существует производная функции (см. п.1.2). Следовательно, если функция f n раз дифференцируема в точке х0, то она и ее производные до порядка n-2 включительно дифференцируемы в некоторой окрестности этой точки, а производная порядка n-1 дифференцируема по крайней мере в точке х0.. Заметим еще, что n –крат- ная дифференцируемость f в точке х0 эквивалентна существованию в этой точке производных функции до порядка n включительно.
Ради единообразия будем говорить, что функция, дифференцируемая в точке х0 (см. определение в п.1.2), дифференцируема в этой точке один раз.
Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х0, Обозначим: t0 = f(x0) ; tk =
, где k = 1, … , n;
Tn(x) = t0 + t1(x-x0) +…+ tn(x-x0) .
Числа tk , k = 0, 1, … , n, называют коэффициентами Тейлора функции f . Очевидно, Tn(x) представляет собой алгебраический многочлен степени не выше n ; его называют многочленом Тейлора функции f. Нетрудно убедиться, что в точке х0 значения многочлена Tn(x) и его производных до порядка n включительно совпадают со значениями в этой точке функции f и её соответствующих производных:
Tn(x0) = f(х0) ; T n(x0) =
при k = 1, … , n. (8) Еще одно свойство многочлена Тейлора описано в следующей теореме.
Теорема 8.(Теорема Тейлора-Пеано) Пусть функция f n раз, где n – любое натуральное число, дифференцируема в точке х0 , Тогда справедлива асимптотическая формула:
f (х) = Tn(x) + о( (х-х0) ) , х→х0 . (9)
► Пусть сначала n= 1, т.е. f дифференцируема в точке х0 ( п.1.2) :
Δ f(h) = f(x0+h) – f(x0) = + o(h). Положив здесь h = x –x0 , получим: f(x) – f(x0) =
(х-х0)+ o(х-х0). Отсюда, так как T1(x) = f(x0) +
(х-х0), следует: f (х)=T1(x) + о( (х-х0)), х→х0 . и теорема доказана для случая n= 1.
Пусть теперь n> 1. Обозначим: rn (x) = f (х) - Tn(x) . Требуется доказать, что rn (x) = о( (х-х0) ) , х→х0 , т.е. что
.Заметим: так как f (х) n раз дифференцируема,то и rn (x) обладает тем же свойством, причем из (8) следуют равенства
rn (x0) = 0; rn (x0) = 0 при k = 1, … , n. (10)
Обозначим: α(х) = rn (x), β(х) = (х-х0) . Нетрудно убедиться, что эта пара функций удовлетворяет в окрестности x0 всем требованиям условия теоремы 7 ; значит, если
есть либо число, либо один из символов +∞ , - ∞ или ∞, то
=
, т.е., если существует конечный или бесконечный предел
, то
=
. Снова введем две функции α(х) = r′n (x) и β(х) = n (х-х0)
и применим к ним теорему 7: если существует конечный или бесконечный предел
=
,то
=
и, значит,
=
.
Повторив это рассуждение n-1 раз, придем к выводу: если существует конечный или бесконечный предел , то
=
. (11)
Функция α(х) = дифференцируема в точке х0 , поэтому α(х)- α(х0) = = α′(х0) (х-х0) +о(х-х0), т.е.
-
=
. Но
=
= 0 (см. (10)) ; значит,
=
. После подстановки в (11), получим:
=
= 0, что и требовалось доказать. ◄
Равенство (9) называют разложением функции f по формуле Тейлора в окрестности точки х0 ; слагаемое о( (х-х0) ) называют остаточным членом этой формулы. Ее называют также формулой Тейлора порядка n c остаточным членом в форме Пеано.
Таким образом, разность между функцией f (х) и ее многочленом Тейлора Tn(x) яаляется при х →х0 бесконечно малой, порядок которой выше n. Заметим,что среди всевозможных алгебраических многочленов степени не выше n таким свойством обладает только многочлен Tn(x). Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 9.(О единственности многочлена наилучшего приближения). Пусть f - -функция, n раз дифференцируемая в точке х0 , а Рn (x) – некоторый алгебраический многочлен степени не выше n. Если справедливо асимптотическое представление
f(х) = Рn (x) + о((х-х0) ). то Рn (x) есть многочлен Тейлора Tn(x) функции f(х) .
► По условию теоремы f(х) = Рn (x) + о((х-х0) ). Кроме того, в силу теоремы Тейлора - Пеано f (х) = Tn(x) + о( (х-х0)
). Вычитая одну формулу из другой, получим: Tn(x) - Рn (x) = о((х-х0)
). Отсюда следует: при х →х0
Tn(x) - Рn (x) → 0 и 0 , j = 1,2, …,n. (12) Имеем: Tn(x) =
, Рn (x)=
;
Tn(x) - Рn (x) =(t0 –p0) +(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) + …+ (tn -pn) (x-x0)
.
Отсюда и из Tn(x) - Рn (x) → 0 следует: t0 –p0 = 0, т.е. t0 = p0 . Значит,
Tn(x) -Рn (x)=(t1 –p1) (x-x0) + (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0)
+…+ (tn -pn) (x-x0)
;
(t1 –p1) + (t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0)
…+ (tn -pn) (x-x0)
. Так как
0, то t1 –p1 = 0, т.е. t1 = p1. Следовательно,
(t2 –p2) (x-x0) +(t3 –p3)(x-x0)
+ …+ (tn -pn) (x-x0)
;
(t2 –p2) +(t3 –p3)(x-x0) +…+ (tn -pn) (x-x0)
. Отсюда, так как
, следует t2 =p2..
Продолжая описанный процесс и используя равенства (12), в итоге докажем равенства tk = pk , k = 1,2, …, n . Значит, Tn(x)≡ Рn (x). ◄
Приведем несколько примеров разложений функций по формуле Тейлора в окрестности х0 = 0. Такие разложения называют также разложениями (формулами ) Маклорена.
Пример 5, Пусть f(х)= , х0 = 0.
Эта функция имеет производные любого порядка; поэтому для нее формулу (9) можно записать при любом натуральном n. Пусть k – неко- торое натуральное число; имеем: f (х)=
. Найдем коэффициенты Тейлора: t0 = f(0)=
=1; при всяком натуральном k tk =
.
Пусть n – любое натуральное число Запишем многочлен Тейлора степени n: Tn(x) = =
. Таким образом, разложение порядка n функции f(х)=
в окрестности х0 = 0 выглядит так:
=
.
Пример 6. Пусть f(х)= sinx , х0 = 0.
При любом натуральном k (см., нпример, [3], п. 11.1). Найдем коэффициенты Тейлора : t0 = f(0)= sin0 = 0 ; при k ≥ 1
tk =
Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n для функции sinx: sinx = + o(
), т.е.
sinx = .
Пример 7. Пусть f(х)=cos x , х0 = 0.
При любом натуральном k . Найдем коэффециенты Тейлора : t0 = f(0)= cos0 = 1 ; при k ≥ 1
tk =
Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка 2 n+1для функции cosx: cosx = + o(
), т.е.
cosx = .
Пример 8. Пусть f(х)=ln(1+x) , х0 = 0.
Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k . Значит, t0 = f(0) = 0 , при всяком натуральном k tk =
. Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n : ln(1+x) =
+ o(
), т.е.
ln(1+x) = .
Пример 9. Пусть f(х)=(1+x) , где μ – любое вещественное число, х0 = 0.
Методом математической индукции нетрудно проверить: при всяком натуральном k . Найдем коэффециенты Тейлора : t0 = f(0)= 1 ; при k ≥ 1 tk =
. Пусть n – любое натуральное число. Запишем формулу Маклорена порядка n : (1+x)
=
+ o(
), т.е.
(1+x) =
.
Пусть функция f дифференцируема n раз в точке х0 , причем f(х0) = 0. Тогда функция f является бесконечно малой при х → х0 , t0 = f(0)= 0, и формула (8) принимает вид:
f (x) = t1(х-х0) + t2(x-x0) +…+ tn(x-x0)
+ о((х-х0)
). Среди коэффициентов t1, t2, …, tn также могут оказаться равные нулю; не исключен и такой случай, когда все они равны нулю. Таким образом, если функция f является бесконечно малой при х → х0 , возможны два случая: либо найдется натуральное р, 1≤ р ≤ n, такое,что tk = 0, k = 0,1, …, p-1, a t р≠ 0, либо все коэффициенты t1, t2, …, tn равны нулю.В первом случае
f (x) = tр(х-х0) + tр+1(x-x0)
+…+ tn(x-x0)
+ о((х-х0)
)=
= tр(х-х0) + о((х-х0)
) ; значит, при х → х0 f (x) является бесконечно малой порядка р , а tр(х-х0)
есть её главная часть. Во втором случае, очевидно, порядок бесконечно малой f (x) выше n. Из сказанного видно, что разложения по формуле Тейлора могут быть использованы для определения порядка бесконечно малых и выделения их главных частей.
Пример 10. Вычислить .
► Воспользуемся разложением примера 6: . Отсюда:
; значит, главная часть знаменателя есть -
. Воспользуемся разложением примера 8:
; отсюда:
. Значит, главная часть числителя есть
. Заменив числитель и знаменатель их главными частями, получим:
=
. ◄
Разложения по формуле Тейлора широко используются в приближенных вычислениях. Из представления (9) следует, что при х, близких к х0 , f(x) “почти не отличается” от Tn(x); значит, Tn(x) может быть принято в качестве приближенного значения f(x) . Однако, формула (9) не дает возможности оценить погрешность приближенного равенства f(x) ≈ Tn(x). В приведенной ниже теореме к функции f предьявляются более жесткие сравнительно с теоремой 8 требования, зато остаточный член формулы Тейлора записан в виде, удобном для получения оценки погрешности.
Теорема 10.(Теорема Тейлора - Лагранжа) Пусть функция f n +1раз дифференгцируема в некоторой окрестности точки х0 , х0
. Тогда для всякого х, х
, х ≠ х0 , найдется ξ , лежащее между х и х0 , такое что справедливо равенство: f (х) - Tn(x) =
.
► Пусть х , и пусть для определенности х > х0 . На сегменте [х0 , х] определим две функции φ и ψ: при z
.
Эти функции удовлетворяют на сегменте [х0 , х] всем требованиям условия теоремы Коши (теоремы 3). Следовательно, существует ξ [х0 , х] такое, что
. т.е.
.
При z имеем:
φ′( z) = - = -
Суммы
и
состоят из одних и тех же слагаемых, эти суммы одинаковы; поэтому после сокращений получим: φ′( z) = -
. Следовательно, φ′( ξ) = -
. Заметим еще:
. Подставив φ′( ξ) и ψ′( ξ) в равенство
(см. выше), окончательно получим: f (х) - Tn(x) =
.
В случае х < х0 доказательство аналогично. ◄
Приведем пример применения этой теоремы.
Пример 11. Найдем приближенное значеиие . Положим f(x)= =
, х = = 8,12, х0 =8, и запишем формулу Тейлора-Лагранжа при n= 1:
, т.е.
, где ξ – некоторое число, 8 < ξ < 8,12. Подсчитаем
. Имеем:
, т.е.
= 2 +
. Таким образом,
≈ ≈
(см. также пример 12, § 1). Оценим погрешность этого равенства. Имеем:
, т.е. |
-
| =
. Отсюда, так как 8 < ξ < 8,12 : |
-
|
= 0,00005. Итак, абсолютная погрешность приближенного равенства
≈
не превышает 0,00005.
2.5. Дифференциалы высших порядков
Если функция f дифференцируема в точке х0 , то для её приращения справедливо асимптотическое представление
( h) = Аh + o(h), где A = f′(x0) (см. п.1.4). Покажем, что если функция f n , n>1, раз дифференцируема в точке х0 , то существует единственный набор чисел A1, A2, …, An такой, что для её приращения
справедливо асимптотическое представление
( h) =
.
Действительно, пусть функция f определена в окрестности = (α , β), α <
< <β, и n , n>1, раз дифференцируема в точке х0. Запишем для неё формулу Тейлора – Пеано порядка n:
. Положим h =
= x - x0 , x = x0 + h; так как
(α , β), то
= (α -
, β -
). Перенеся f(x0) налево, получим:
Мы получили представление
( h) =
, в котором
. Его единственность вытекает из теоремы 9 предыдущего пункта. Заметим, что первое слагаемое в правой части этого представления есть дифференциал df(h) .
Определение. Дифференциалом порядка k , k = 2,3, …,n, функции f в точке х0 назовем выражение , где h принимает значения в окрестности точки 0:
.
.
Обозначать дифференциал порядка k функции f в точке х0 будем символом , а также символом
( h). Таким образом,
( h)
. k = 2,3, …n. Ради единообразия и удобств при записи формул дифференциал df(h) =
h часто называют дифференциалом первого порядка, обозначая его через
или
( h). Тогда для приращения n раз дифференцируемой функции можно записать представление через дифференциалы:
.
Основные свойства дифференциалов высших порядков вытекают непосредственно из свойств производных высших порядков: пустьфункции f и g n , n>1, раз дифференцируемы в точке х0 ; тогда
1.
2. 3.
( здесь сомволы
и
означают f(x0) и g(x0) соответственно),
Свойством инвариантности формы дифференциалы высших порядков не обладают.