ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины
Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.
Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда 
- скорость размножения бактерий.
По условию задачи 
- уравнение с разделяющимися переменными.
Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
При t=0, x=x0 
-частное решение дифференциального уравнения.
Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов 
.
Таким образом
Прологарифмируем последнее выражение
Окончательно получаем 
Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.
Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение
,
где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.
k -коэффициент пропорциональности.
Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.
Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные
Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I0 , при x=0, найдем частное решение
Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.
Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень - пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина - Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).
Рис. 4. Модель Кельвина - Фойхта
Найти зависимость деформации от времени 
, если к модели приложена постоянная нагрузка.
Решение. Согласно условию задачи 
, и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. 
, а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. 
, мы можем написать дифференциальное уравнение.
, или 
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и 
, мы будем иметь сразу частное решение.
Потенцируя последнее выражение, получаем
Находим отсюда 
Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина - Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.