Часть 1. Математические основы методики

Элементы математической логики имеют большое значение в определении целей и содержания математической подготовки детей дошкольного возраста. В дошкольном возрасте формируются основные математические понятия: множество, элементы множества, операции с множествами, число, натуральный ряд чисел, вычислительные действия, арифметическая задача, форма, геометрическая фигура, многоугольник, величина, свойства величины, пространство, пространственные ориентировки, время, система мер времени, алгоритм.

В основе формирования математических представлений в дошкольном возрасте лежит познание детьми свойств и отношений между предметами.

Свойство – сторона предмета, обуславливающая его различие или сходство с другими предметами и проявляющаяся во взаимодействии с ними. С каждым свойством связывается множество объектов, обладающих этим свойством. Множество задается указанием характеристического свойства. Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества).

Свойства бывают существенные и несущественные, единичные и всеобщие, внутренние и внешние, необходимые и случайные, совместимые и несовместимые.

Отношение – одна из форм единства предметов, явлений и их свойств. В ее основе лежит общность двух или более предметов, между которыми устанавливаются отношения. Выявление отношений между предметами – необходимое условие познания ребенком окружающего мира. Наиболее распространенный вид отношений в математической подготовке дошкольников – бинарные отношения. Под бинарными отношениями понимают отношение между двумя объектами.

С точки зрения отечественных психологов и педагогов (В.В.Давыдова [2], А.М. Леушиной [5], Г.А. Корнеевой [4] и др.) первичным математическим понятием в дошкольном возрасте является понятие множество. Данное понятие в математике является фундаментальным, исходным при определении других понятий: чисел, величин, формы и т. д.

Множество — это совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку и воспринимаемых как единое целое. Множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты данного множества.

Множество имеет свою структуру: границы, элементы с определенным общим признаком.

Множество может быть охарактеризовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества.

Элементами множества называют объекты, составляющие его. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др.

Элементарные отношения внутри и между множествами раскрываются в операциях с множествами. Основными операциями с множествами являются: сравнение, объединение, дополнение, разбиение на подмножества, пересечение и удаление части множества (подмножества) [16].

Сравнение множеств – многоплановая операция. Сравнивая множества, ребенок выявляет не только их равномощность, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств.

Разбиение множества на подмножества предполагает выделение в готовом множестве побочных признаков у элементов (помимо основного объединяющего все элементы признака). На основе выделенных различий (побочных признаков) происходит деление на части (подмножества) внутри множества.

Пересечением двух множеств называется множество, которое состоит из общих элементов.

Дополнение множества элементами – операция предполагающая наличие определенного сформированного множества и неопределенной множественности объектов. Необходимо отобрать из неопределенной множественности объекты, обладающие основным признаком множества и присоединить их к множеству.

При удалении подмножества из множества получаем множество, которое называется разностью. Разность включает элементы изначального множества, которые не включены в удаляемое подмножество.

Характеризуя множества, в математике используются такие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощное и неравномощное, одно-, двухэлементное, пустое множество, часть множества, или подмножество.

Теоретические основы формирования математических представлений у дошкольников включают детальное изучение системы натуральных чисел. Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру.

Понятие величина в математике рассматривается как основное. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д.

В методике формирования математических преставлений у детей дошкольного возраста понятие величина обычно сужено, им чаще всего характеризуется размер предметов [13].

Величина предмета — это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Она всегда относительна, и зависит от того, с каким предметом сравнивается предмет. Сравнивая предмет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а сравнивая этот же самый предмет с большим, называем его меньшим.

Величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями как сравнимость, изменчивость и относительность.

Величина предмета определяется человеком только в сравнении с другой величиной — мерой. Мера является эталоном величины. В качестве эталонов величины выступают наши представления об отношениях между предметами и обозначаются словами, указывающими на место предмета среди других (большой, маленький, высокий, длинный, короткий, толстый, тонкий и т.д.).

Измерение — один из видов математической деятельности. С помощью измерения определяется непрерывная величина: масса, объем, протяженность. Основной момент в обучении измерению — ознакомление детей с мерой.

Классическая дидактика выделила величину и форму как самостоятельные категории действительности [15], [16].

Форма – внешнее очертание, наружный вид, контуры предмета. Уровень познания формы весьма существен, так как на него опираются при формировании представлений о величине, пространстве и др.

Образцами — эталонами формы выступают геометрические фигуры. Они являются абстрагированием от формы реальных предметов. Геометрическая фигура представляет из себя совокупность точек, линий и поверхностей. С помощью геометрических фигур проводится анализ окружающей действительности по форме.

Под алгоритмом понимают общепонятное и точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить для решения любой задачи из данного вида однотипных задач. Это определение не является математическим определением в строгом смысле, однако оно представляет собой разъяснение того, что обычно вкладывается в понятие алгоритма для ребенка дошкольного возраста.