Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки
При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.
Рис. 8.22.
Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y/=tgθ. Следовательно,tgθ=tgφ=y/.
В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h, а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ=y/.
Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента Mz и жесткости EIz (см. уравнение (8.8)):
 . | (8.26) |
В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,
 . | (8.27) |
Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для Mz иy// были приняты независимо друг от друга, получаем
 . | (8.28) |
Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y/)2=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки
 . | (8.29) |
Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y// и Mz совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y// и Mzпротивоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.
Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента Mzсодержит одну из главных осей инерции сечения.
Рис. 8.23.
Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений
 , | (8.30) |
а после второго интегрирования – прогибы балки
 . | (8.31) |
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.