V. Числовые последовательности

ПРОГРАММА К ЭКЗАМЕНУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ГРУППЫ П-135Э, П-136Э, П-137Э

(1 КУРС, 1 СЕМЕСТР)

I. Вводная часть.

I.1. Кванторы и обозначения.

I.2. Основные числовые множества.

I.3.Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

II. Линейная алгебра.

II.1. Определение матрицы. Основные понятия

II.2. Основные виды матриц (вектор-строка, вектор-столбец, нуль-матрица; квадратная, диагональная, треугольная матрицы; единичная матрица).

II.3. Линейные операции над матрицами.

II.4. Умножение матриц. Свойства умножения матриц.

II.5. Понятие определителя. Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка (правило Саррюса, правило треугольника). Свойства определителя.

II.6. Определение дополнительного минора матрицы. Определение алгебраического дополнения матрицы. Разложение определителя матрицы произвольного порядка по строке или по столбцу (теорема Лапласа). Минор матрицы произвольного размера.

II.7. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.

II.8. Виды выражений, виды равенств. Понятия уравнения, системы уравнений, совокупности уравнений.

II.9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, основные понятия. Виды СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли (б/д).

II.10. Методы решения СЛАУ. Матричный метод. Метод Крамера. Метод Гаусса.

II.11. Однородная СЛАУ. Тривиальное и нетривиальное решения. Условия существования решения однородной и неоднородной СЛАУ.

III. Векторная алгебра.

III.1. Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве.

III.2 Определение вектора. Нулевой вектор, коллинеарные векторы, равные векторы. Компланарные векторы. Точность определения вектора в геометрии. Свободные векторы, плавающие векторы, фиксированные векторы.

III.3 Линейные операции над векторами. (Сложение (вычитание) двух векторов, свойства суммы векторов – с доказательством; правило треугольника, правило параллелограмма, правило замыкания ломаной до многоугольника; умножение вектора на число и его свойства).

III.4. Понятие n-мерного вектора в Евклидовом пространстве. Определение линейного векторного пространства.

III.5. Линейно-независимая система векторов. Линейно-зависимая система 2-х векторов, 3-х векторов. Упорядоченная система векторов. Базис. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в заданном базисе. Левая (правая) тройка векторов. Ортонормированный базис.

III.6. Скалярное произведение векторов: определение, формулы вычисления. Свойства скалярного произведения. Условие перпендикулярности векторов. Длина вектора. Вычисление угла между векторами.

III.7. Векторное произведение: определение, физический смысл, вычисление в координатной форме. Свойства векторного произведения. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади треугольника или параллелограмма.

III.8. Смешанное произведение векторов: определение, свойства. Вычисление в координатной форме. Условие компланарности векторов. Объем параллелепипеда.

IV. Аналитическая геометрия.

IV.1. Основные понятия линейной геометрии. Алгебраические поверхности и алгебраические кривые. Порядок алгебраической кривой.

IV.2. Алгебраические кривые первого порядка. Общее уравнение прямой на плоскости. Теорема о прямой как алгебраической линии первого порядка (с доказательством). Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой.

IV.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (вывод уравнения, геометрический смысл коэффициентов).

IV.4. Параметрические уравнения прямой, векторное уравнение прямой: вывод, геометрический смысл коэффициентов.

IV.5. Каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой в отрезках: вывод, геометрический смысл коэффициентов.

IV.6. Нормальное уравнение прямой: вывод, геометрический смысл коэффициентов.

IV.7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

IV.9. Алгебраические линии на плоскости – уравнения второго порядка (примеры).

IV.10. Поверхности и линии в пространстве. Плоскость в пространстве. Теорема о плоскости как поверхности 1-го порядка (с доказательством). Общее уравнение прямой, геометрический смысл коэффициентов. Варианты расположения плоскости в зависимости от значения коэффициентов.

IV.11. Векторное и параметрическое уравнения плоскости (вывод, геометрический смысл коэффициентов).

IV.12. Нормальное уравнение плоскости, уравнение плоскости в отрезках (геометрический смысл коэффициентов).

IV.13. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

IV.14. Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

IV.16. Прямая в пространстве.

V. Числовые последовательности.

V.1. Равные множества. Множества, ограниченные снизу. Множества, ограниченные сверху. δ-окрестность точки.

V.2. Понятие последовательности. Способы задания последовательности. Последовательность Фибоначчи. Факториал. Множество членов последовательности.

V.2. Монотонные и немонотонные последовательности.

V.3. Ограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности через ε-окрестность. Фундаментальная последовательность (последовательность Коши) – критерий Коши.