Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».

Завдання 1.

Задано матриці і .

1. Обчислити матриці , , , .

2. Записати матричне рівняння , де , у вигляді системи лінійних рівнянь.

3. Розв’язати систему:

а) матричним методом;

б) за формулами Крамера;

в) методом Гаусса.

Розв’язання. 1. Транспонуємо матрицю :

і знайдемо матриці , , і :

;

;

;

2. Запишемо матричне рівняння :

і виконаємо множення матриць в лівій частині рівняння

З рівності матриць однакового розміру маємо систему лінійних рівнянь

Розв’яжемо отриману систему вказаними в умові методами:

а) матричним методом.

Розв’язком матричного рівняння є матриця , де - обернена матриця, яка обчислюється за формулою

.

Обчислимо визначник системи

Оскільки , то обернена матриця існує. Обчислимо її елементи - алгебраїчні доповнення елементів матриці .

, , ,

, , ,

, , .

Запишемо обернену матрицю і знайдемо розв’язок системи:

,

.

Остаточно маємо . Звідки , , .

б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера.

Оскільки головний визначник системи вже обчислено, то обчислимо допоміжні визначники:

;

;

;

За формулами Крамера отримаємо наступний розв’язок системи ( ):

; ; .

в) Розв’яжемо систему методом Гаусса.

Поміняємо місцями перше та друге рівняння:

Нове перше рівняння системи приймемо за перше ведуче рівняння системи. Виключимо з другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння на і і по черзі додамо до другого і третього рівнянь.

Отримаємо

Поділимо друге рівняння на і приймемо його за друге ведуче рівняння:

Виключимо з третього рівняння. Для цього помножимо друге рівняння на 19 і додамо до третього:

Прямий хід метода Гаусса закінчено. Обернений хід: з третього рівняння знаходимо , з другого - , з першого - :

Розв’язок системи: .

Відповідь. , , .

Завдання 2.

Задано вектори . , , у деякому базисі. Показати, що вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора у цьому базисі.

Розв’язання. Вектори , , утворюють базис у тривимірному просторі, якщо вони некомпланарні. Щоб перевірити це, знайдемо мішаний добуток цих векторів:

.

Оскільки , то вектори , , некомпланарні і утворюють базис, в якому вектор матиме розклад

(2.1)

або

,

де , , - координати вектора в цьому базисі. Для їх обчислення складемо систему рівнянь:

Розв’яжемо систему за формулами Крамера: , , .

,

,

,

.

Отже, , , .

Підставимо , , у формулу (2.1) і одержимо розкладання вектора :

.

Відповідь. Вектори , , утворюють базис у тривимірному просторі. Вектор в цьому базисі має розклад .

Завдання 3.

Задано координати вершин піраміди : , , . Знайти:

1) кут між ребром та гранню ;

2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;

4) рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані .

Розв’язання. 1) Синус кута між ребром та гранню обчислимо за формулою

, (3.1)

де , , - координати нормального вектора площини (грані ), а , , - координати напрямного вектора прямої .

Складемо рівняння грані як рівняння площини, що проходить через три точки , , :

. (3.2)

Підставимо в рівняння (3.2) координати точок , , :

або .

Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:

,

,

,

,

.

З рівняння площини запишемо координати її нормального вектора

.

Складемо рівняння ребра як рівняння прямої, що проходить через точки і :

.

Отримаємо

або .

З цього рівняння маємо координати напрямного вектора ребра : , , .

Підставляючи знайдені координати нормального і напрямного векторів у формулу (3.1), дістанемо

,

.

2) Площу грані знайдемо за формулою

,

де координати векторів і знайдемо, віднімаючи від координат кінця координати початку: , .

,

,

.

3) Об’єм піраміди обчислимо за формулою

,

де , . Таким чином,

,

.

4) Рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані , отримаємо за формулою

,

де , , - координати напрямного вектора висоти.

Оскільки висота піраміди, яку проведено з вершини , паралельна нормальному вектору площини , то координати останнього можна прийняти за координати напрямного вектора висоти, тобто , , . Тоді рівняння висоти матиме вигляд

або .

Відповідь. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Завдання 4.

Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямої відносяться як .

Розв’язання. Нехай - довільна точка лінії, рівняння якої треба скласти. За умовою задачі , де , .

Отже, маємо рівняння

або .

Перетворимо його:

,

,

,

.

Для доданків з виділимо повний квадрат:

,

,

,

,

,

.

Отримали рівняння гіперболи з центром у точці і півосями , .

Відповідь. - рівняння гіперболи з центром у точці і півосями , .