Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
Завдання 1.
Задано матриці і
.
1. Обчислити матриці ,
,
,
.
2. Записати матричне рівняння , де
, у вигляді системи лінійних рівнянь.
3. Розв’язати систему:
а) матричним методом;
б) за формулами Крамера;
в) методом Гаусса.
Розв’язання. 1. Транспонуємо матрицю :
і знайдемо матриці ,
,
і
:
;
;
;
2. Запишемо матричне рівняння :
і виконаємо множення матриць в лівій частині рівняння
З рівності матриць однакового розміру маємо систему лінійних рівнянь
Розв’яжемо отриману систему вказаними в умові методами:
а) матричним методом.
Розв’язком матричного рівняння є матриця
, де
- обернена матриця, яка обчислюється за формулою
.
Обчислимо визначник системи
Оскільки , то обернена матриця існує. Обчислимо її елементи
- алгебраїчні доповнення елементів матриці
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Запишемо обернену матрицю і знайдемо розв’язок системи:
,
.
Остаточно маємо . Звідки
,
,
.
б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера.
Оскільки головний визначник системи вже обчислено, то обчислимо допоміжні визначники:
;
;
;
За формулами Крамера отримаємо наступний розв’язок системи ( ):
;
;
.
в) Розв’яжемо систему методом Гаусса.
Поміняємо місцями перше та друге рівняння:
Нове перше рівняння системи приймемо за перше ведуче рівняння системи. Виключимо з другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння на
і
і по черзі додамо до другого і третього рівнянь.
![]() |
![]() |
![]() |
Отримаємо
Поділимо друге рівняння на і приймемо його за друге ведуче рівняння:
Виключимо з третього рівняння. Для цього помножимо друге рівняння на 19 і додамо до третього:
![]() |
![]() |
Прямий хід метода Гаусса закінчено. Обернений хід: з третього рівняння знаходимо , з другого -
, з першого -
:
Розв’язок системи: .
Відповідь. ,
,
.
Завдання 2.
Задано вектори .
,
,
у деякому базисі. Показати, що вектори
,
,
утворюють базис та знайти координати вектора
у цьому базисі.
Розв’язання. Вектори ,
,
утворюють базис у тривимірному просторі, якщо вони некомпланарні. Щоб перевірити це, знайдемо мішаний добуток цих векторів:
.
Оскільки , то вектори
,
,
некомпланарні і утворюють базис, в якому вектор
матиме розклад
(2.1)
або
,
де ,
,
- координати вектора
в цьому базисі. Для їх обчислення складемо систему рівнянь:
Розв’яжемо систему за формулами Крамера: ,
,
.
,
,
,
.
Отже, ,
,
.
Підставимо ,
,
у формулу (2.1) і одержимо розкладання вектора
:
.
Відповідь. Вектори ,
,
утворюють базис у тривимірному просторі. Вектор
в цьому базисі має розклад
.
Завдання 3.
Задано координати вершин піраміди :
,
,
. Знайти:
1) кут між ребром та гранню
;
2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;
4) рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані
.
Розв’язання. 1) Синус кута між ребром та гранню
обчислимо за формулою
, (3.1)
де ,
,
- координати нормального вектора площини (грані
), а
,
,
- координати напрямного вектора прямої
.
Складемо рівняння грані як рівняння площини, що проходить через три точки
,
,
:
. (3.2)
Підставимо в рівняння (3.2) координати точок ,
,
:
або
.
Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:
,
,
,
,
.
З рівняння площини запишемо координати її нормального вектора
.
Складемо рівняння ребра як рівняння прямої, що проходить через точки
і
:
.
Отримаємо
або
.
З цього рівняння маємо координати напрямного вектора ребра :
,
,
.
Підставляючи знайдені координати нормального і напрямного векторів у формулу (3.1), дістанемо
,
.
2) Площу грані знайдемо за формулою
,
де координати векторів і
знайдемо, віднімаючи від координат кінця координати початку:
,
.
,
,
.
3) Об’єм піраміди обчислимо за формулою
,
де ,
. Таким чином,
,
.
4) Рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані
, отримаємо за формулою
,
де ,
,
- координати напрямного вектора висоти.
Оскільки висота піраміди, яку проведено з вершини , паралельна нормальному вектору площини
, то координати останнього можна прийняти за координати напрямного вектора висоти, тобто
,
,
. Тоді рівняння висоти матиме вигляд
або
.
Відповідь. 1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
Завдання 4.
Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямої
відносяться як
.
Розв’язання. Нехай - довільна точка лінії, рівняння якої треба скласти. За умовою задачі
, де
,
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Отже, маємо рівняння
або
.
Перетворимо його:
,
,
,
.
Для доданків з виділимо повний квадрат:
,
,
,
,
,
.
Отримали рівняння гіперболи з центром у точці і півосями
,
.
Відповідь. - рівняння гіперболи з центром у точці
і півосями
,
.