Производная и дифференциал
Понятие производной
Опр.Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к 0.
у⁄ = lim∆у/∆х
∆х→0
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в (.) х.
Нахождение производной функции f(x) называется дифференцирование этой функции.
Можно сказать, что производная у⁄ функции y=f(x) в данной точке х представляет собой относительную скорость изменения функции в точке х. Например, если в некоторой точке х имеется у⁄ = 2, то это означает, что на участке (х; х+∆х) функция у возрастает приблизительно в 2 раза быстрее, чем аргумент х, т.е. ∆у/∆х = 2, при этом данное приближение тем точнее, чем меньше ∆х.
Теорема:
Если функция имеет производную в точке х, то она обязательно непрерывна в этой точке.
Пр. Пользуясь определением производной найти производную функции у =х2, у = 2х+5;
∆у = f(х+∆х) –f(x) = 2(х+∆х)+5-(2x+5)=2х+2∆х+5-2х-5=2∆х
у⁄ = lim∆у/∆х = lim 2∆х/∆х=2
∆х→а ∆х→а
Пр. у =х2, найти у⁄.
Основные правила дифференцирования
Если f(x) и g(x) дифференцируемые функции, то:
1. С⁄ = 0 производная постоянной функции равна 0
2. x∕ = 1
3. (f(x)±g(x))⁄= f⁄(x)± g⁄(x) производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
4. Производная произведения двух функций
[f(x)∙g(x)]⁄=f⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g⁄(x)
5. Производная частного от деления двух функций равна:
[f(x)/g(x)]⁄= [f⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g⁄(x)]/ g2(x)
6. Постоянный член можно выносить за знак производной
[С f(x)]⁄=C[f⁄x)]⁄
Дифференцирование функций производят с помощью основной таблицы производных.
Пр. Найти производные следующих функций:
y = x5 – 9x4 + 5x2 – 8
Решение:
y¢ = 5x4 – 36x3 + 10x
При решении первого примера использовалась формула производной из таблицы производных y =xn
y¢= nxn-1
y = sinx / (1+2x)
y¢= (cosx (1+2x) - 2 sinx) / (1+2x)2
При решении второго примера используется правила дифференцирования: - y/ = (u/v)/ и производная функции (Sinx)/
Найти производные следующих функций:
1. y = 6x-4+4 x-3- 7x-2 – 3x-1 + 15
2. y = (x2 +3x - 4)* lnx
3. y = (9-2x)* (2x3- 9x2 + 1)
4. y = (2x - 3)/(3x + 7)
В первом примере для решения используется табличное значение производной по формуле:
y =xn ; y¢= nxn-1
Для решения второго примера применяются формулы из таблицы производных: y =xn ; y¢= nxn-1 ; y = lnx ; y¢= 1/х, и правило дифференцирования - y/ = (uv)/ .
Для решения третьего примера применяются формулы из таблицы производных: y =xn ; y¢= nxn-1 ; и правило дифференцирования - y/ = (u/v)/ .
Для решения четвертого примера применяются формулы из таблицы производных: y =xn ; y¢= nxn-1 и правило дифференцирования - y/ = (uv)/ .
Производная сложной функции
Опр.Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.
Пусть у = f (u) ,u= u (x) дифференцируемые функции, тогда
y/x= y/u * u/x
Примеры: найти производные сложных функций:
1. y = sin (2x -1)
2. y = ln(3 x + 4)
Разбор примеров на доске.
1. y = sin (2x -1)
введем обозначение 2x-1=u, тогда
y¢= (Sinu)/·u/x
y¢= 2cos(2x-1)
2. y = ln(3 x + 4)
введем обозначение (3x + 4) =u, тогда
y¢= (lnu)/* u/x
y¢= 3/(3x + 4)
Закрепление темы
Решить примеры:
1. y = (5x + 2)4
2. y = Ln (3x2 –2x + 5)
3. y = 105-3x
4. y = cosx2
Решение:
1. y = (5x + 2)4
Введем обозначение: 5x + 2 = u
тогда y¢= (u4) / * u/x
y¢= 3(5x + 2)3*5 = 15(5x + 2)3
2. . y = Ln (3x2 –2x + 5)
введем обозначение: (3x2 –2x + 5) =u, тогда
y¢= (lnu)/* u/x
y¢= (6x-2)/(3x2 –2x + 5)
3. y = 105-3x
Введем обозначение: 5 –3x = u
тогда y¢= (10u)/* u/x
y¢= (-3) * 105-3x/ Ln10 = -3*105-3x/ Ln10
4. y = cosx2
Введем обозначение: x2 = u
тогда y¢= (cosu)/* u/x
y¢= sinx2*2x = 2x*sinx2
Производные высших порядков
Опр. Производная второго порядка (вторая производная) от функции
y = f(x) есть производная от ее производной.
Опр. Производная третьего порядка (третья производная) от функции
y = f(x) есть производная от ее второй производной.
Опр. Производная n-го порядка (n-я производная) от функции
y = f(x) есть производная от ее (n-1) производной.
Пр. Вычислить вторую производную от функции:
y = 1/ (x-1)
y = x sin2x
Решение примеров.
1. y = 1/ (x-1)
y = (x-1)-1
y¢ = -(x-1)-2
у∕∕= 2(x-1)-3
2. y = x sin2x
y¢= sin2x + 2хcos2x
у∕∕=2cos2x + 2cos2x - 4хsin2x = 4cos2x - 4хsin2x
Пр.8.322-8.326
Геометрический смысл производной и понятие дифференциала функции
Производная функции y=f(x) равна tg(α), f⁄(x) = tg(α), где tg(α), есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в (.) х,
Уравнение касательной выглядит следующим образом:
у – уо = у⁄ (х0)(х- х0)
Дифференциал функции
Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная часть ее приращения, п пропорциональная приращению ∆х независимой переменной.
Дифференциалом dx независимой переменной х называется ее приращение ∆х.
Дифференциал любой дифференцируемой функции y=f(x) равен произведению производной на дифференциал независимой переменной.
dy = y¢(x)dx
y¢(x) = dy/dx
если ∆х мала, то ∆у = dy
у(х+∆х) =у(х) + ∆у = у(х) + dy = у(х) + y¢(x) dx
рис.
Найти ∆у и dy функции у = х2 –х+1 при х = 3, ∆х = 0,01
∆у = у(х+∆х) - у(х) = (х + ∆х)2- (х +∆х) + 1 – (х2 –х+1) = 3,012- 3,01+ 1 - 9 + 3 -1=
= 9.061-3,01-6 = 0,0501
dy = y¢(x)dx = (2х – 1)dx =0,05
Задача:
На сколько изменится сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м2 до 15,82 м2
S = y2. где у- сторона квадрата
у =√S, найти ∆у
∆S = 16-15,82 = 0,18
∆у ≈ dy = y¢∙dS, dS≈ ∆S,
Dy = (1/2√S)∙∆S = (1/2√16)∙0,18 = 0,18/8 = 0,0225
Исследование функции с помощью производной
Понятие функции
Величина у называется функцией переменной величины х , если каждому из тех значений , которые может принимать х, соответствует одно или несколько определенных значений у, при этом х называют аргументом.
Область определения функции (ООФ)
Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции у.
Способы заданий функции
- аналитический
-графический
- параметрический
Область значений функции (ОЗФ)
Все значения, которые принимает функция там, где она определена.