Неопределенный интеграл. Функция называется первообразной функции если Множество первообразных функции
Функция 
называется первообразной функции 
если 
Множество первообразных функции 
называется неопределенным интегралом и обозначается 
.
Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:
,
поэтому нетрудно получить следующую таблицу интегралов:
1) 
( 
), 7) 
,
2) 
, 8) 
,
3) 
, 9) 
,
4) 
, 10) 
,
5) 
, 11) 
,
6) 
, 12) 
.
Не останавливаясь на непосредственном интегрировании по формулам, как на простейшем способе решения примеров, перейдём сразу к более сложным методам.
Метод замены переменного
Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции 
Рассмотрим некоторую функцию 
, которая имеет непрерывную производную 
и обратную функцию 
. (Например: 
монотонна). Тогда справедлива формула:
. (3.1.1)
В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (3.1.1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:
. (3.1.2)
Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (3.1.2), то с помощью подстановки 
получаем более простой интеграл (3.1.1).
Пример 8 
.
Решение.
.
Пример 9 
.
На практике часто используется следующая простая формула:
,
где 
- первообразная функции 
.
Пример 10. 
.
Пример 11. 
.
Пример 12. 
.
Интегрирование по частям
Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.
.
Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.
Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.
I. 
где 
- многочлен степени 
. В качестве 
нужно взять , а 
= - другой сомножитель.
При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.
II. 
.
В этом случае, наоборот, следует положить = .
Рассмотрим применение указанной схемы.
Пример 13.
.
Это интеграл первого типа, поэтому:
= 
=
= 
=
Пример 14. 
.
Решение.
Это интеграл второго типа, поэтому имеем:
.
Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию 
по ее дифференциалу 
. Поэтому в качестве этого сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.
Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.
Пример 15 
.
.
Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобку, получим
,
откуда
.