Теория функций комплексного переменного

ПРОГРАММА

государственного экзамена по математике

для бакалавров по направлению

010600 «Прикладные математика и физика»

Рекомендовано

учебно-методической комиссией

факультета нелинейных процессов,

Председатель комиссии __________ Рыскин Н.М.

«__» ___________ 2012 г.

Саратов – 2012

Математический анализ

Теория вещественного числа, комплексные числа, векторы.Определение вещественного числа. Арифметические операции. Степени вещественных чисел. Предельные точки числового множества. Комплексные числа. Векторные пространства. Геометрическая интерпретация векторов.

Последовательности.Определение числовых последовательностей и подпоследовательностей. Сходящиеся последовательности и их свойства. Числовые ряды. Операции над рядами. Последовательности и ряды комплексных чисел и векторов.

Предел функции. Непрерывные функции.Способы задания функции. Предел функции. Основные свойства предела функции. Непрерывность функции. Монотонные функции.

Дифференциальное исчисление. Свойства производных и дифференциалов для функций одной переменной. Производные элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков для функций одной переменной. Возрастание и убывание в точке функции одной переменной. Локальный экстремум. Условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков для функций нескольких переменных. Независимость от порядка дифференцирования. Формула Тейлора. Ряды Тейлора. Комплексно–значные функции и вектор–функции.

Применение дифференциального исчисления для исследования функций.Раскрытие неопределенности. Исследование графика функции. Приближенные методы вычисления корней. Интерполирование. Неявные функции. Зависимые и независимые системы функций. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных.

Интегральное исчисление для функций одной переменной.Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его основные свойства. Связь между неопределенным и определенным интегралом. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегралы, сводящиеся заменой переменных к интегралам от рациональных функций. Приближенные формулы для вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы. Определенный и неопределенный интегралы для комплекснозначных и вектор функций. Интегралы, зависящие от параметра.

Функциональные последовательности и ряды.Определение и основные свойства функциональных последовательностей. Функциональные ряды. Равномерное приближение заданной функции полиномами. Функциональные последовательности комплекснозначных функций и вектор функций. Ряды Фурье. Явление Гиббса. Интеграл Фурье.

Кратные интегралы. Понятие кратного интеграла по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу. Условия интегрируемости функций. Основные свойства кратного интеграла. Приведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных в кратном интеграле.

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.Кривая в m-мерном пространстве, её длина. Криволинейные интегралы. Гладкая поверхность. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода. Поверхностный интеграл второго рода. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Грина. Формула Стокса.

Теория функций комплексного переменного

Элементарные функции комплексного аргумента.Комплексные числа и операции над ними. Предел и непрерывность функций комплексной переменной. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости, условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Элементарные функции и их свойства. Понятие конформного отображения. Дробно-линейная функция, степенная функция, функция Жуковского, показательная функция.

Свойства аналитических функций.Интеграл от функции комплексной переменной. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема об аналитичности суммы степенного ряда. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Лиувилля. Теорема единственности аналитической функции. Ряд Лорана и его область сходимости. Классификация изолированных особых точек. Вычет в конечной точке. Способы вычисления вычетов. Основная теорема о вычетах. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Рунге. Основная теорема алгебры. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов.