Лабораторная работа № 6. Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Теоретический минимум
1. Каноническое уравнение окружности.
2. Каноническое уравнение эллипса.
3. Каноническое уравнение гиперболы.
4. Каноническое уравнение параболы.
5. Асимптоты гиперболы.
6. Фокусы эллипса, гиперболы и параболы.
7. Эксцентриситет кривых 2-го порядка.
8. Директрисы кривых 2-го порядка.
9. Определение типа кривой 2-го порядка по ее общему уравнению.
10. Приведение кривой 2-го порядка к главным осям.
Задания
1. Построить кривые по заданным уравнениям. Указать тип кривой.
| № | Уравнения кривых 2-го порядка | № | Уравнения кривых 2-го порядка |
а) (х – 2)2 + (у – 3)2 = 9; б)  в)  г) у2 = 9х. | а) (х – 3)2 + (у – 2)2 = 9; б)  в)  г) у2 = – 4х. | ||
а) (х + 3)2 + (у – 5)2 = 4; б)  в)  г) у2 = 7х. | а) (х – 5)2 + (у + 3)2 = 4; б)  в)  г) у2 = – 2х. | ||
а) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 16; б)  в)  г) у2 = 5х. | а) (х + 1)2 + (у + 1)2 = 16; б)  в)  г) у2 = – 6х. | ||
а) (х – 3)2 + (у + 4)2 = 25; б)  в)  г) у2 = 16х. | а) (х + 4)2 + (у – 3)2 = 25; б)  в)  г) у2 = – х. | ||
а) (х + 3)2 + (у + 3)2 = 4; б)  в)  г) у2 = 3х. | а) (х – 3)2 + (у – 3)2 = 4; б)  в)  г) у2 = – 8х. | ||
а) (х – 1)2 + (у + 1)2 = 1; б)  в)  г) у2 = 4х. | а) (х + 1)2 + (у – 1)2 = 16; б)  в)  г) х2 = 9у. | ||
а) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 9; б)  в)  г) у2 = 2х. | а) (х – 1)2 + (у + 2)2 = 36; б)  в)  г) х2 = 7у. | ||
а) (х – 4)2 + (у + 2)2 = 49; б)  в)  г) у2 = 6х. | а) (х + 2)2 + (у – 4)2 = 49; б)  в)  г) х2 = 5у. | ||
а) (х + 4)2 + (у – 4)2 = 9; б)  в)  г) у2 = х. | а) (х – 4)2 + (у + 4)2 = 9; б)  в)  г) х2 = 16у. | ||
а) (х – 5)2 + (у + 1)2 = 4; б)  в)  г) у2 = 8х. | а) (х + 1)2 + (у – 5)2 = 4; б)  в)  г) х2 = 3у. | ||
а) (х + 5)2 + (у – 6)2 = 16; б)  в)  г) у2 = – 9х. | а) (х – 6)2 + (у + 5)2 = 16; б)  в)  г) х2 = 4у. | ||
а) (х – 1)2 + (у + 5)2 = 1; б)  в)  г) у2 = – 7х. | а) (х + 5)2 + (у – 1)2 = 1; б)  в)  г) х2 = 2у. | ||
а) (х + 1)2 + (у – 3)2 = 25; б)  в)  г) у2 = – 5х. | а) (х – 3)2 + (у + 1)2 = 25; б)  в)  г) х2 = 6у. | ||
а) (х – 3)2 + (у – 2)2 = 36; б)  в)  г) у2 = – 16х. | а) (х – 2)2 + (у – 3)2 = 36; б)  в)  г) х2 = у. | ||
а) (х + 2)2 + (у + 4)2 = 49; б)  в)  г) у2 = – 3х. | а) (х + 4)2 + (у + 2)2 = 49; б)  в)  г) х2 = 8у. |
2. Определить тип кривой второго порядка по ее общему уравнению, привести это уравнение к главным осям и построить соответствующую кривую. Определить координаты вершин и фокусов кривой, записать уравнения директрис и асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой.
| № | Уравнение | № | Уравнение |
1  | 4х2 + у2 – 8х + 4у = 0 | 4х2 – у2 + 16х – 2у + 15 = 0 | |
| 9х2 – 4у2 + 54х + 8у + 41 = 0 | х2 + 25у2 + 4х – 150у + 204 = 0 | ||
| 2х2 + 3у2 + 12х – 6у + 15 = 0 | 4х2 – 9у2 + 16х + 54у – 101 = 0 | ||
| 4х2 – у2 + 8х – 2у + 3 = 0 | 3х2 + 2у2 + 12х – 16у + 38 = 0 | ||
| 9х2 + 16у2 + 36х – 64у – 44 = 0 | 9х2 – 16у2 – 36х – 64у – 172 = 0 | ||
| 4х2 – 25у2 + 8х – 10у + 4 = 0 | 4х2 + 9у2 + 32х – 16у + 37 = 0 | ||
| 9х2 + 4у2 + 36х – 8у + 36 = 0 | 9х2 – 4у2 – 18х – 16у – 43 = 0 | ||
| х2 – 4у2 + 10х + 24у – 7 = 0 | 4х2 + у2 – 8х + 4у + 24 = 0 | ||
| 9х2 + 4у2 + 36х – 8у + 36 = 0 | 4х2 – у2 – 16х – 6у + 11 = 0 | ||
| х2 – 4у2 + 6х + 8у + 5 = 0 | х2 + 4у2 + 10х – 24у + 57 = 0 | ||
| 2х2 + 3у2 + 8х – 6у + 5 = 0 | х2 – 4у2 + 6х + 8у + 21 = 0 | ||
| 9х2 – 4у2 + 36х + 8у + 68 = 0 | 4х2 + 9у2 + 32х – 18у + 109 = 0 | ||
| 4х2 + 9у2 – 32х + 36у + 64 = 0 | 5х2 + 3у2 – 10х + 12у + 17 = 0 | ||
| 4х2 – у2 – 8х – 4у – 16 = 0 | 9х2 – 16у2 – 54х – 64у – 127 = 0 | ||
| 9х2 + 4у2 + 18х – 8у – 23 = 0 | 4х2 + 9у2 – 40х + 36у + 100 = 0 |
3. Решить задачи:
| № | Задачи |
| Составить уравнение радиуса окружности х2 + у2 + 4х + 2у – 32 = 0, проведенного в точку А(4; − 2) на ней. | |
| Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами 16, а эксцентриситет равен 1/2. | |
Найти эксцентриситет гиперболы  . | |
| Составить уравнение оси параболы у2 – 6у – 12х – 15 = 0. | |
| Составить уравнение директрисы параболы х2 – 4х – 16у + 52 = 0. | |
| Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 – 4х – 6у + 8 = 0, проведенной в точке А(3; 5) на ней. | |
Найти эксцентриситет эллипса  . | |
Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 20, а уравнение ее асимптот y = ±  . | |
| Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 7) и В(5; − 1) и имеющей центр на оси Оу. | |
| Найти уравнение кривой на плоскости, отношение расстояний каждой точки которой от точки А(3; 0) и от прямой x = 12 равно λ = 1/2. | |
| Составить уравнение радиуса окружности х2 + у2 + 4х + 2у – 21 = 0, проведенного в точку А(3; − 2) на ней. | |
| Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Оx, если расстояние между его фокусами равно 12, а эксцентриситет равен 0,3. | |
Найти эксцентриситет гиперболы  . | |
Составить уравнение гиперболы, если уравнение ее асимптот y = ±  ×х и она проходит через точку (9; 3  ). | |
| Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в начале координат, а директриса задана уравнением y = 4. | |
| Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 – 2х + 4у – 13 = 0, проведенной в точке А(– 2; 1) на ней. | |
| Составить уравнение окружности, диаметром которой является общая хорда окружностей: х2 + у2 – 4х – 2у – 15 = 0, х2 + у2 + 6х + 18у – 55 = 0. | |
Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, если расстояние между ее фокусами равно 40, а уравнение ее асимптот y = ±  . | |
Составить уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящей через точки (− 6; −  ), (6 ; 4). | |
| Составить уравнение кривой на плоскости, каждая точка которой равноудалена от прямой y = − 2 и от точки А(− 3; 4). | |
| Отрезок прямой 5x − 4y + 40 = 0, содержащийся между осями координат, служит диаметром окружности. Составить уравнение этой окружности. | |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, проходящего через точки ( ; 2), (2;  ). | |
Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Oy, если гипербола проходит через точку (− ; −  ). | |
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ox, если он проходит через точки А(6; 4) и В(4;  ). | |
| Составить уравнение директрисы параболы х2 + 8х – 28у + 44 = 0. | |
| Составить уравнение окружности, проходящей через точку с координатами А(− 5; 6), и концентрической по отношению к окружности х2 + у2 – 2х + 6у – 87 = 0. | |
Найти эксцентриситет эллипса  . | |
| Составить уравнение оси параболы х2 + 2х – 20у – 79 = 0. | |
| Составить уравнение директрисы параболы у2 – 4у + 8х – 12 = 0. | |
Найти эксцентриситет гиперболы  . |
Справочный материал
к 6-й лабораторной работе
1. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
2. Общее уравнение кривой второго порядка: А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0, где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем A + B + C > 0.
Примечание: не всякое уравнение А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0 представляет уравнение кривой второго порядка.
3. 
Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).
4. 
Каноническое уравнение окружности
радиусаRуравнение окружности радиусаR
с центром в начале координат): x2 + y2 = R2.
5. Уравнение окружности радиусаRс
центром в точке(x0; y0):
(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
6. 
Эллипс – множество всех точек M плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с: r1 + r2 = 2a > 2c > 0.
7. Каноническое уравнение эллипса: 
,
где 0 < b < a, точки F1(c; 0) и F2(− c; 0) – фокусы эл-
липса; точки A1(a; 0), A2(− a; 0), B1(b; 0), B2(− b; 0) –
вершины эллипса, отрезок A1A2 длиной 2а – боль-
шая ось, отрезок В1В2 длиной 2b – малая ось эл-
липса; точка О(0; 0) – центр эллипса; длина отрезка
F1F2, равная 2с = 2× 
, – фокусное расстояние.
8. Гипербола – множество всех точек М плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2с: |r1 – r2| = 2а < 2с.
 |
9. Каноническое уравнение гиперболы:
, где точки F1(c; 0) и F2(−c; 0) –
фокусы гиперболы, точки A1(a; 0), A2(−a; 0)
– вершины гиперболы, точка О(0; 0) – центр
гиперболы,отрезок A1A2 длиной 2a – действи-
тельная ось, отрезок В1В2 длиной2b – мни-
мая ось гиперболы, длина отрезка F1F2, рав-
ная 2с, – фокусное расстояние, 2c = 2 
прямые y = 
×х, y = – ×х − асимптоты гиперболы; a > 0, b > 0, c > 0. Если a = b, то гиперболаназывается равносторонней. Гиперболы 
и 
или 
называются сопряженными, они имеют общие асимптоты, ветви гиперболы 
находятся в верхнем и нижнем секторах этих пересекающихся асимптот и имеют вершины в точках В1 и В2, мнимая ось одной гиперболы является действительной для ей сопряженной и наоборот.
10. Парабола − множество всех точек М плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).
11. Каноническое уравнение параболы:y2= 2px, где p – фокальный параметр параболы; точка О(0; 0) – вершина параболы; точка F(p/ 2; 0) – фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса (фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось параболы.
12. Директриса кривой второго порядка(кроме окружности) – прямая, расстояние между которой и любой точкой M на кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой.
Примечание: директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы; у окружности нет директрис.Задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F1).
13. Эксцентриситет ε кривой второго порядка (кроме окружности) – отношение расстояния r от точки M до фокуса кривой второго порядка к расстоянию d от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы, т.е. эксцентриситет ε= r/d. Для эллипса ε = r/d = c/a < 1; для гиперболы ε = r/d = c/a > 1; для параболы ε = r/d = 1; у окружности эксцентриситет равен 0.
14. Уравнения директрис кривых второго порядка: уравнения директрис эллипса и гиперболы: х = ± а/e = ± а2/с, где; уравнение директрисы параболы x = − p/ 2.
15. Если алгебраическое уравнениеА∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0 задает кривую второго порядка, то тип этой кривой определяется значением определителяd = 
:при d > 0 кривая 2-го порядка – эллипс (в случае А = С и В = 0 – окружность), при δ < 0 – гипербола, при δ = 0 – парабола.
16. Главные оси кривой второго порядка – координатные оси правой прямоугольной системы координат, в которой уравнение этой кривой является каноническим.