Определение: Функция 
называется четной, если она обладает следующими свойствами:
1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть 
для любого 
;
2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство 
.
Вывод:
1. Если точка 
принадлежит графику четной функции, то точка 
так же принадлежит графику этой функции.
2.
Так как любая пара точек
и
, принадлежащих графику четной функции, симметрична относительно оси ординат, следовательно, график любой четной функции симметричен относительно оси ординат (Рис. 1).
Рис. 1. Рис. 2.
Пример: 
– четная функция, так как, во-первых, область определения этой функции 
симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство 
.
, 
(Рис. 2).
Определение: Функция называется нечетной, если она обладает следующими свойствами:
1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;
2)
для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство
.
Вывод:
1. Если точка 
принадлежит графику нечетной функции, то точка 
так же принадлежит графику этой функции.
2. Так как любая пара точек 
и 
, принадлежащих графику нечетной функции, симметрична относительно начала координат, следовательно, график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример: 
– нечетная функция, так как, во-первых, область определения этой функции 
симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство 
.
, 
.
Пример: Исследовать на четность и нечетность функции:
1) 
;
Область определения данной функции 
симметрична относительно начала координат. Найдем 
и сравним с 
: 
, 
.
Следовательно, является четной функцией.
2) 
;
Область определения данной функции 
симметрична относительно начала координат. Найдем и сравним с :
,
и 
. Следовательно, не является ни четной, ни нечетной функцией.
3) 
.
Область определения данной функции симметрична относительно начала координат. Найдем и сравним с : 
, 
.
Следовательно, является нечетной функцией.
Монотонность функций
Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (Рис. 1).
Определение: Функция
называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. (Рис. 2)
Рис. 1. Рис. 2
Вывод: График возрастающей функции - восходящая кривая, график убывающей функции - нисходящая кривая при перемещении вдоль оси абсцисс в положительном направлении.
Определение: Функция только возрастающая или только убывающая на данном промежутке называется монотонной на этом промежутке.
монотонновозрастающая монотонноубывающая не монотонная функция функция функция
Обратимость функций
Определение: Функция называется обратимой (имеет обратную функцию), если она принимает каждое свое значение один раз.
Рис. 1: Рис. 2: 
Функции (Рис. 1)и (Рис. 2) определены на
и имеют множество значений
.
Функция принимает каждое свое значение один раз, то естьу = f ( х ) -обратимая функция.
Функция принимает некоторые свои значения не один раз, то есть у = j ( х )-необратимая функция.
Вывод: Обратима только монотонная функция.
Пример: Найти функцию обратную функции 
. Построить графики взаимно обратных функций.
Решение:
1. Из формулы 
выразим х через у: 
; 
; 
.
В полученной формуле поменяем местами х и у: 
.
и - взаимно обратные функции.
2.
Построим графики взаимно обратных функций
и
:
х - 2 2
у - 5 3
х - 5 3
у - 2 2
График функции 
- прямая l1 проходит через точки (- 2; - 5) и (2;3).
График функции - прямая l2 проходит через точки (- 5; - 2) и (3;2).
Прямая 
является осью симметрии прямых l1 и l2 .
Вывод:
1.Чтобы получить функцию, обратную даннойфункции ,надо из формулы выразить х черезуи в полученной формуле поменять местами х иу.
2.Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой 
.
