Установленных на подвижном основании

Методика Ишлинского

Методика составления уравнений движения СП,

установленных на подвижном основании

Уравнения движения гироскопических устройств, находящихся на неподвижном основании, обычно составляют, используя уравнение Лагранжа второго рода. В него входят кинетическая энергия системы; обобщенные силы, приложенные к системе; обобщенные координаты. В качестве обобщенных координат берутся углы поворотов подвеса, а обобщенных сил – вращающие моменты. Таким образом составляются уравнения движения одно-, двух- и трехосных платформ.

В случае многоосной платформы, установленной на движущемся основании, обобщенными координатами выступают углы Эйлера между осями платформы и базовыми осями . Объект поворачивается вокруг нематериальных осей, не совпадающих с осями подвеса. Задача становится трудной, и для ее решения применяется малодоступный метод виртуальных перемещений.

Более предпочтителен метод, основанный на теореме об изменении главного момента количества движения динамической системы. Его использовали Е. Л. Николаи и др., а развил применительно к сложным гироскопическим системам А. Ю. Ишлинский [1].

Рассмотрим указанный метод на примере составления уравнений движения одноосной силовой СП, представленной на рис. 2.1. Платформа состоит из ротора гироскопа, кожуха гироскопа, платформы и ротора стабилизирующего двигателя (СД). При использовании этого метода система рассматривается как совокупность твердых тел, сочлененных между собой связями (декомпозиция системы на элементы). На каждое тело действуют не только силы, но и реакции связей (опор и т. д.). С каждым из тел связаны оси: с ротором гироскопа – ; с кожухом – ; с платформой – ; с ротором СД – ; с объектом, на котором установлена СП, – . При этом ось , совпадающая с осью , является осью вращения ротора; ось , совпадающая с осью , – осью вращения кожуха; ось , совпадающая с осью , – осью вращения платформы; ось , параллельная оси объекта, – осью вращения ротора двигателя.

На рис. 2.2 показаны тела, входящие в состав СП; связанные с ними системы координат и реакции опор (связей) , . Реакции опор лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. В соответствии с законом о силах действия и противодействия: . На рис. 2.2. реакции не указаны, так как соответствующие тела связаны с объектом.

Рис. 2.2

Данная методика приводит к упрощению громоздких вычислений, при этом легко просматривается физический смысл.

Для каждого из тел справедлив закон сохранения момента количества движения вокруг центра инерции. В векторной форме уравнение вращательного движения вокруг центра инерции тела относительно произвольной опорной системы координат имеет вид

, (2.1)

где – вектор главного момента количества движения i-го тела относительно центра инерции с; – вектор угловой скорости расчетной системы координат ( , если система координат инерциальная); – главный момент заданных сил; – момент реакции опор.

Выражение (2.1) можно записать в скалярной (матричной) форме[1]:

, (2.2)

где – кососимметрическая матрица, необходимая для выполнения векторного умножения; ( – тензор инерции тела, , , – моменты инерции i‑го тела относительно связанных с ним осей, – центробежные моменты инерции).

В случае динамически уравновешенного тела центробежные моменты инерции равны нулю. Тогда тензор инерции представляет собой диагональную матрицу и после перемножения матриц получим:

.

Уравнения движения двух или нескольких тел, объединенных в систему, получают, складывая геометрически левые и правые части уравнений (2.2), записанных для каждого тела, входящего в систему. Так, например, уравнение движения двух тел i и j, связанных через опоры, записывают следующим образом [1]:

, (2.3)

где – матрица перехода от системы координат i к системе координат j.

Последнее слагаемое из выражения (2.3), если в системе есть следующее тело , связанное с j‑м, состоит из

Перепроектировав (2.2) на систему координат, связанную с телом j, умножая обе части на и заменяя на , выразим из (2.2) и подставим в (2.3):

.

Получим уравнение движения системы тел i и j в проекциях на систему координат, связанную с телом j:

. (2.4)

Это эквивалентно тому же, что умножить выражение (2.2) на и геометрически сложить, заменяя на .

Выбирая в (2.4) строку, соответствующую оси вращения тела j, получим уравнение, не содержащее неизвестной реакции связи .