Числовые характеристики случайных величин

Способы задания законов распределения дискретных

Случайных величин

1.1. Случайная величина называется дискретной, если ее значения можно пронумеровать . Она может быть задана рядом распределения, многоугольником или функцией распределения.

1.2. Рядом распределения называется совокупность всех частных значений х_i и соответствующих им вероятностей . Ряд распределения оформляется обычно в виде таблицы

xi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

1.3. Многоугольником распределения называется графическое изображение ряда распределения.

1.4. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина примет значения меньшее выбранного значения, т.е. . Функция F(x) вычисляется по формуле , где суммирование ведется по всем значениям i, для которых .

1.5. Свойства функции распределения

1. F(x) – функция неубывающая.

2. .

3. .

График имеет вид

Пример 1.1. Составить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при одном броске p = 0,3. Построить многоугольник и функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности могут быть вычислены по формуле:

.

Этой формулой можно пользоваться, если независимые испытания производятся n раз, вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p, a . – число сочетаний из n по k.

Здесь .

Ряд распределения

xi
pi	0,343	0,441	0,189	0,027

Многоугольник распределения Функция распределения

Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.

2.1. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

Для описания непрерывных законов распределения чаще используется понятие плотности распределения:

.

называют также дифференциальной функцией распределения, а ее график – кривой распределения.

2.2. Свойства дифференциальной функции распределения.

Учитывая свойство (4), функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения непрерывной величины Х.

Пример 2.1. Непрерывная случайная величина имеет интегральную функцию распределения:

Найти . Построить графики .

Решение. По условию задачи функция F(x) непрерывна. При х = 0 разрыва нет. ; , чтобы при х = 1 не было разрыва, выбираем а = 1.

или

Числовые характеристики случайных величин

3.1. Основные числовые характеристики для дискретных случайных величин определяются по формулам:

– математическое ожидание случайной величины Х, которое характеризует среднее значение случайной величины, центр распределения. – дисперсия, определяет рассеивание случайной величины около центра. – среднее квадратичное отклонение.

3.2. По аналогии с дискретным распределением математическое ожидание и дисперсия в случае непрерывной случайной определяется формулами:

3.3. Отметим еще формулу, удобную при вычислении дисперсии:

3.4. Свойства математического ожидания и дисперсии

1. – неслучайная величина.

2.

3. для любых X и Y.

для независимых случайных величинX и Y.

4. для независимых случайных величинX и Y.

Пример 3.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины примера 1.2.

Пример 3.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию для непрерывной случайной величины примера 2.1.