Р е ш е н и е н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й м е т о д о м х о р д

Метод хорд является более быстрым способом нахождения корня уравнения f (x)=0 , нежели метод половинного деления (рис. 3).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке ( а , в ) и f ( а ) f ( в ) < 0.

Для определения корня в первом приближении проведем прямую через две точки ( а , f (а) ) и ( в , f (в) ) и найдем точку пересечения x этой прямой с осью абсцисс . Если ½f(x )½ £ e , где e - малое число , опреде-ляющее точность решения уравнения, то х принимается за корень уравнения

Рис. 3

Если ½f(x )½ > e , то находится произведение f(a) f (x ). Если f (а) f (x )>0 , то за неподвижный конец хорд принимается точка ( в, f(в)), если f(а) f(x ) < 0 , то - точка ( а , f( а )). Снова проведем хорду, которая пересечет ось

абсцисс ближе к точке пересечения кривой f(x) с осью x. При f (а) f(x ) > 0 хорда проводится через точки ( x , f(x ) , (в, f( в ) ) , т . е . роль точки а играет точка ( x , f(x )) . Чтобы получить координаты точки пересечения новой хорды с осью x достаточно в первоначальном уравнении хорды « а » заменить на x , а f(а) - на f(x ) . Аналогично обстоит дело и в случае f(а) f(x ) <0.

Теперь получим аналитическое выражение изложенных выше словесных рассуждений . Уравнение прямой , проходящей через заданные две точки , имеет вид

=

Разрешим это уравнение относительно x:

x -x = (y -y )

Учитывая, что в точке пересечения хорды с осью x у=0 , получаем:

x= x - y (x - x ) / (y - y )

По условию у =f(а); у = f(в), x = а; x = в.

С учетом этого получаем:

x= а - f(а ) ( в - а ) / ( f(в ) - f( а) ) ( 1 )

По этой формуле вычисляется значение корня уравнения в первом приближении. Проверяем точность вычисленного корня. Если £ e, то вычисления прекращаются. Если f(x)> e , то вычисляется произведение f(а) f(x) . Если f(а) f(x) > 0 , то принимается а = x f(а) = f(x) и по этим данным по формуле ( 1 ) вычисляется новое значение х. Если же f(a) f(x)<0 , то принимается в =x, f(в)=f(x) и по этим данным вычисляется новое значение х. Так продолжается до тех пор, пока не будет выполняться неравенство f (x) £ e, или пока два последовательных значения x не будут отличаться не более, чем на e , т.е. £ e₁ . На основе этого алгоритма составлена подпрограмма H O R D , текст которой приведен в приложении 3 .

Пример решения уравнения методом хорд приведен также в приложении 3 .

Р е ш е н и е н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й м е т о д о м

К а с а т е л ь н ы х

Метод касательных , называемый также методом Ньютона, широко используется при построении итерационных алгоритмов. Его попу-лярность объясняется быстрой сходимостью при хорошем начальном приближении . Метод Ньютона основан на замене небольшой дуги кривой у=f(х) касательной , проведенной в некоторой точке этой кривой (рис. 4) .

Зададимся некоторой точкой х_о ,у_о , лежащей на кривой у=f(х) , и найдем уравнение касательной к этой кривой в выбранной точке. Касательная имеет наклон к оси абсцисс , обусловленный видом кривой f(х), т.е. при проведении касательной , кроме координат точки , должен быть выдержан и угол наклона кривой в выбранной точке. Таким образом, уравнение касательной - это уравнение прямой , проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом . Общий вид такого уравнения известен из курса аналитической геометрии :

у – у_о = к ( х – х_о) , ( 1 )

где к- угловой коэффициент, т.е. тангенс угла между прямой и осью х.

Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс . Для точки , лежащей на оси х , у = 0 . Подставляя это значение у в ( 1 ) , получаем

- у_о = кх - кх_о ; кх_о - у_о = кх ; х = х_о - у_о / к . ( 2 )

Поскольку точка ( х_о , у_о ) лежит на кривой у = f (х) , то у_о = f (х_о) , а

к = tga = dy / dx = f ‘(x _o) . Подставляя найденные значения у_о и к в формулу ( 2 ) , получаем :

х = х_о - f’(х_о) / f (х_о) ( 3 )

Рис. 4

Для выбора начального приближения в методе Ньютона необходимо проверить выполнения условия:

f (с) / (с) > 0, с = b или с = а. (4)

касательная к точке C проводится со стороны выпуклости функции. За начальное приближение итерационного процесса выбирается тот из конца отрезка (а, b) в котором выполняется условие (4).

Найденное значение х считаем значением корня уравнения у = f (х) в первом приближении , т.е. х₁ = х₀ – f(х_о) / f’ (х_о ). Для получения корня во втором приближении надо найти значение функции f ( х₁) , провести каса-

тельную к кривой f (х) в точке В₁ ( х₁ , у₁ ) и найти точку пересечения новой касательной с осью х . Абсцисса этой точки найдется по формуле

х₂ = х₁ - f(х₁) /f’ (х₁)

Обобщая эту формулу , можно для любого приближения записать

х_n+1 = x_n – f(x_n) / f‘(x_n) . ( 4 )

Процесс вычислений по формуле (4) прекращается , если два после-довательных значения х близки, т.е. если ½х_n+1 – х_n½£ e , где e - малое число, определяющее требуемую точность решения уравнения . Процесс вычислений может быть прекращен и в том случае , если ½f(х_n+1)½£ e₁ .

Скорость сходимости процесса последовательных приближений по методу Ньютона в большой мере зависит от удачного выбора исходной точки . Если численное значение производной f' (х) вблизи кор-ня мало, то процесс вычисления корня может оказаться длительным . Если же в окрестности корня график функции имеет большую крутизну, то процесс быстро сходится. Следовательно, если определен отрезок , внутри которого находится корень уравнения, то в качестве начального приближения корня следует принять тот конец отрезка , на котором модуль первой производной½f' (х)½ имеет большее значение .

Из всего сказанного следует , что для решения уравнений методом Ньютона необходимо иметь : уравнение функции f(х) , уравнение производной f' (х) , начальное приближение корня уравнения х_о , значение малой величины e , определяющей момент выхода из итерационного процесса , счетчик итераций , позволяющий автоматически прервать расчет , если количество итераций превысит заданное значение . Алгоритм решения уравнения может быть представлен в следующем виде :

1) выбрать начальное значение корня х_n ;

2) по формуле ( 4 ) вычислить х_n+1 ;

3) если ½х_n+1 - x_n½£ e , то перейти к п. 7;

4) вычислить f (x_n+1 ) ;

5) если ½f (x_n+1 )½£ e , то перейти к п. 7 ;

6) положить х_n = x_n+1 и перейти к п. 2 ;

7) закончить расчет .

Этот алгоритм реализован в виде подпрограммы SUBROUTINE NEWTO ( A, B, EPS, X, K ).Текст подпрограммы приведен в приложении 4 .