Краткие сведения из теории
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 (1 СЕМ.)
При решении задач (1)−(3) на вычисление производной функции одной переменной нужно использовать таблицу производных основных элементарных функций, общие правила дифференцирования, правила дифференцирования сложной функции и функции, заданной параметрическими уравнениями, а также логарифмическую производную.
Общие правила дифференцирования:
6. Правило дифференцирования сложной функции:
если
.
7. При дифференцировании произведения или частного нескольких функций, а также сложно-степенной функции целесообразно использоватьлогарифмическую производную:
если то
.
Этот прием называют предварительным логарифмированием.
8. Правило дифференцирования параметрически заданной функции:
если ,то
или
.
При решении задачи №4 нужно написать уравнения касательной и/или нормали, проходящих через некоторую точку на заданной кривой. Эти линии являются прямыми в плоскости .
Касательную и нормаль, проходящие через точку , принадлежащую кривой, определяют три параметра:
.
Число
равно угловому коэффициенту касательной.
à Если кривая задана явно уравнением , то
. Если значение
не указано, то
надо найти из условий задачи.
à Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то y0=y(t0), x0=j(t0),
Если значение параметра не указано, то его надо определить, исходя из условий задачи, так как
используется при вычислении
и, возможно, какой-либо координаты точки
.
Параметры удобно свести в таблицу:
Таблица 1
![]() | ![]() | ![]() |
Вид уравнений касательной и нормали определяется значением параметра . Различают три случая.
1. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
2. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
3. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
В первом случае и касательная, и нормаль − наклонные прямые; во втором случае касательная − горизонтальная прямая (горизонталь), нормаль − вертикальная прямая (вертикаль); в третьем случае касательная − вертикальная прямая, нормаль − горизонтальная прямая.
При решении задачи (5) на вычисление пределов функций, связанных с раскрытием неопределенностей вида , можно использовать правила Лопиталя-Бернулли:
, если существует предел
. Здесь
− конечная или бесконечная величина.
Ниже приведены:
− методика выполнения контрольной работы;
− типовой вариант;
− пошаговое решение типового варианта.
содержание контрольной работы
Контрольная работа №1 содержит пять заданий:
− три примера на технику дифференцирования;
− один пример на составление уравнения касательной и/или нормали к кривой;
− один пример на вычисление предела с помощью правила Лопиталя-Бернулли.
Типовой вариант КР1
Найдите производные функций:
1)
2)
3)
4) Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где
.
5) Найдите предел