Далее рассмотрим примеры
Глава 5.
Тема2.
Исследование функции и построение эскиза её графика. Кривизна графика в точке.
Для наглядного описания функции часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Например: где функция пересекает ось ОХ, ось ОУ; на каких интервалах она возрастает и на каких убывает; есть ли у неё локальные экстремумы; каково направление выпуклости графика; имеются ли разрывы графика; какова асимптотика и так далее. Для точных расчетов графики функций используются редко. Однако бывает очень полезно изучить график перед проведением точных расчётов, так как из графического поведения функции видно какие алгоритмы и вблизи каких точек графика применять наиболее целесообразно. Для построения графика дифференцируемой функции используют алгоритмы дифференциального исчисления. Рекомендуемый порядок исследования функции и построения её графика приведён ниже.
1)Указать область определения функции .
2) Указать нули функции, если это возможно.
3)Отметить конкретные особенности: чётность, периодичность.
5)Найти промежутки монотонности функции и указать её локальные экстремумы.
6)Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба графика.
7)Выяснить асимптотическое поведение функции: с указанием уравнений
вертикальных и наклонных асимптот.
8) Отметить характерные точки графика, например, точки пересечения графика функции с осью ОУ, если они есть и их возможно вычислить. Очень полезно вычислить две, три конкретные точки графика функции.
Далее рассмотрим примеры.
Пример 2.1. Исследовать функцию и построить её график
1. Данная функция есть многочлен пятой степени. Область определения D многочлена интервал
2. Определим нули функции. В данном случае это возможно
3. Функция нечётная, так как
4. Определим участки монотонности и локальные экстремумы. Вычислим критические точки функции. У многочлена у всех критических точек . Отсюда
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Производная положительна
на интервалах . Производная отрицательна на интервалах
. Вычисляем значения функции в критических точках
и заполняем таблицу.
x | - ![]() | ![]() | |||||
![]() | + | - | - | + | |||
y | ![]() | 10.4 | ![]() | ![]() | -10.4 | ![]() |
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной
получаем. При х =- локальный максимум, при х=0 экстремума нет, при х=
локальный минимум.
5. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого используем правило 1.2. Вычисляем вторую производную, приравниваем её нулю и находим точки «подозрительные на перегиб».
Вторая производная положительна
на интервалах Производная отрицательна на интервалах
.Определяем точки подозрительные на перегиб.
Вычисляем значения функции в точках подозрительных на перегиб
и заполняем таблицу.
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | - ![]() | ![]() | |||||
![]() | - | + | - | + | |||
y | ![]() | -6.4 | ![]() | ![]() | 6.4 | ![]() |
Используя правило 1.2 нахождения точек перегиба с помощью второй производной, получаем, что точки являются точками перегиба графика функции.
6. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Многочлен не имеет асимптот.
7. График пересекает ось ОУ в точке (0,0).
8. Используя таблицы, строим график функции
Пример 1.2. Исследовать функцию и построить её график
1. Данная функция это дробно- рациональная функция. Область определения D есть множество
2. Определим нули функции. В данном случае это возможно
3.Функция общего вида
4. Определим участки монотонности и локальные экстремумы. Вычислим критические точки функции. В этих точках либо , либо
не существует.
Вычисляем производную функции .
В точке . В точке
.
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Производная положительна
на интервале . Производная отрицательна на интервалах
. Вычисляем значения функции в критических точках.
В точке ,
, в точке
значения функции не существует.
Заполняем таблицу.
x | -6 | ||||
![]() | + | - | - | ||
y | ![]() | -1 | ![]() | ![]() ![]() |
Используя правило 1.1 ( нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной)
получаем. При локальный минимум, при х=0 экстремума нет.
5. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого используем правило 1.2. Вычисляем вторую производную, приравниваем её нулю и находим точки «подозрительные на перегиб». Вторая производная равна . В точке
. Точка подозрительная
на перегиб имеет координаты . Определяем знаки
на интервалах.
положительна на интервалах
.
отрицательна на интервале
. Согласно правилу 1.2 точка
является точкой перегиба графика.
Для определения знаков второй производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | -9 | ||||
![]() | - | + | нет | + | |
y | ![]() | -0,9 | ![]() | нет | ![]() |
6. Находим асимптоты графика функции. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение
. Алгоритм нахождения параметров
известен.
Сначала определяем .
Затем определяем
Уравнение наклонной асимптоты найдено .
При график также имеет асимптоту
.
Легко находим, что есть уравнение вертикальной асимптоты
7. График не пересекает ось ОУ.
8. Используя таблицы, строим график функции
Пример 1.3. Исследовать функцию и построить её график
1. Данная функция это дробно- рациональная функция. Область определения D есть множество
2. Определим нули функции. В данном случае это возможно
3.Функция общего вида .
4.с помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Стационарными точками являются точки, в которых :
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | -7 | ||||
![]() | + | - | + | ||
y | ![]() | -24 | ![]() | ![]() |
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов получаем. При х=-7 локальный максимум, при х=5 локальный минимум.
5. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки «подозрительные на перегиб»
Точки, в которых производная равна нулю отсутствуют . Точка, в которых вторая производная не существует
.
Для определения знаков второй производной слева и справа от точки применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | -1 | ||
![]() | ![]() | нет | + |
y | ![]() | нет | ![]() |
Точек перегиба графика нет.
6. Исследуем поведение функции на бесконечности.
Находим наклонную асимптоту. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение
. Алгоритм нахождения параметров
известен. Сначала определяем
.
Затем
Уравнение наклонной асимптоты найдено
Проверим , имеет ли данная функция вертикальную асимптоту.
Прямая, имеющая уравнение называется вертикальной асимптотой графика функции
если
бесконечно большая при
.
Так как , то
прямая является вертикальной асимптотой.
7.График пересекает ось ОУ в точке (5,0).
8. Строим график функции.
Пример 1.4. Исследовать функцию и построить её график
1. Область определения D функции интервал
2.Определим нули функции. В данном случае это возможно
3.Так как , то
функция нечётная.
4.С помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Такими точками являются точки в которых :
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | -1 | ||||
![]() | ![]() | + | ![]() | ||
y | ![]() | -0,6 | ![]() | 0,6 | ![]() |
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной
получаем. При х=-1 локальный минимум, при х=1 локальный максимум.
5.С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки «подозрительные на перегиб».В этих точках или не существует
Для определения знаков второй производной слева и справа от этих точек применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
x | - ![]() | ![]() | |||||
![]() | ![]() | + | ![]() | + | |||
y | ![]() | нет | ![]() | ![]() | ![]() |
4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение.
Находим наклонную асимптоту. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение
. Алгоритм нахождения параметров
известен
Сначала всегда определяем .
Затем
П. Уравнение наклонной асимптоты найдено
Так как функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
7. График пересекает ось ОУ в точке (0,0).
8. Строим график функции.