Определённый интеграл Римана

Определения разбиения s :a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b отрезка [a,b], диаметра разбиения d(s) = max Dx_i , где Dx_i = x_i – x_i-1 (i = 1, 2, … , n), интегральных сумм Римана

интеграла Римана

и интегрируемости по Риману f(x) Î R_[a,b] .

Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Римана.

Определение и геометрическая интерпретация нижней и верхней сумм Дарбу

и

где

, a

Из приведённых выше определений видно, что

Свойства сумм Дарбу:

1) При измельчении разбиения s (т. е. при добавлении новых точек разбиения) нижняя сумма Дарбу S(s) не убывает, а верхняя сумма Дарбу `S(s) не возрастает.

2) Всякая нижняя сумма Дарбу S(s₁) не превосходит всякой верхней суммы Дарбу `S(s₂).

3) Существуют

Если функция интегрируема на отрезке, то она и ограничена на нём.

Если функция не ограничена на отрезке , то она и не интегрируема на нём.

Критерии интегрируемости по Риману

ограниченной на отрезке [a, b] функции f(x)

Критерий Дарбу

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда

и только тогда, когда разность её сумм Дарбу стремится к нулю

вместе с диаметром разбиения

Доказательство. “Þ” f(x) Î R_[a,b] , S(s, x) ® I ,"e > 0 $d > 0 "s ,

d(s) < d : | S(s, x) - I | < e/3 . Переходя к точным нижним и верхним граням по всем x , получаем: "e > 0 $d > 0 "s , d(s) < d : | S(s) - I | £ e/3 , | `S(s) – I | £ e/3 , | `S(s) - S(s) | £ 2e/3 < e .

“Ü” `S(s) - S(s)® 0 , S(s) £ I £ `I £ `S(s) , S(s) £ S(s, x)£`S(s),

поэтому S(s, x) ® I = I = `I #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 2. Как связана интегрируемость функции

а) с условием sup_s inf_x S(s, x) = inf_s sup_x S(s, x),

б) с условием lim S(s_n, x) при n®¥ существует и одинаков для

любой последовательности разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ...

с d(s_n) ® 0 и при любом выборе x ,

в) с условием lim S(s_n) = lim`S(s_n) для любой последовательности

разбиений s₁ Ì s₂ Ì s₃ Ì ... с d(s_n) ® 0 ,

г) с условием lim [S(s’ , x’) - S(s” , x”)] = 0

при max{d(s’), d(s”)} ® 0 и при любом выборе x’ и x”

д) с условием "e > 0 $s’, s”: `S(s”) - S(s’) < e

Задача 3.Проверьте выполнение условия Дарбу для функции Римана.

Критерий Римана

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда для любого a > 0 сумма длин тех сегментов разбиения, колебания функции на которых ³ a ,

стремится к нулю вместе с диаметром разбиения

Доказательство. Проверим равносильность условий Дарбу и Римана.

“Þ” Пусть выполнено условие Дарбу. Тогда

“Ü” Пусть выполнено условие Римана. Тогда

если сначала зафиксировать a < e/2(b-a) , а затем взять d такое, что

где W = w(f , [a, b]) – колебание функции f(x) на сегменте [a, b] .

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 4.Проверьте выполнение условия Римана для функции Римана.

Лемма Бэра (о связи между колебаниями функции на сегменте

и в точках этого сегмента относительно сегмента)

1) колебание функции в любой точке сегмента (относительно этого сегмента) не больше колебания функции на всём сегменте; колебание функции на сегменте не меньше колебания в любой точке сегмента (относительно этого сегмента),

2) если в каждой точке сегмента D колебание функции < a ,

то $ d > 0 такое, что на " сегменте D¢Ì D длиной < d

колебание функции будет < a .

Доказательство. 1) следует непосредственно из определений колебания функции на множестве и в точке. 2) докажем от противного. Пусть в каждой точке x сегмента [a, b] колебание функции w(f, x) будет < a , но "d > 0 $ сегмент [a¢, b’]Ì [a, b] длиной b' - a' < d , колебание функции на котором w(f, [a’, b’]) будет ³ a . Тогда существует последовательность сегментов [a_n , b_n] из [a , b] таких, что b_n - a_n ® 0 , но w(f, [a_n , b_n]) ³ a . Из ограниченной последовательности a_n , a £ a_n £ b можно выбрать подпоследовательность a_Кn , a £ a_Кn £ b ,сходящуюся к некоторому числу x , a £ x £ b , при этом b_Кn - a_Кn ® 0 . Но любая окрестность этой точки x (в пересечении с сегментом [a , b] ) содержит некоторый сегмент [a_Кn , b_Кn] , колебание функции на котором w(f, [a_Кn , b_Кn]) будет ³ a . Поэтому и w(f, x) будет ³ a (?!) .

Критерий дю Буа-Реймона

Обозначим Е_a = { x Î [a, b] таких, что w(f, x) ³ a }

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда для любого a > 0 множество E_a всех тех точек разрыва функции f(x), колебание в которых ³ a , имеет жорданову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины

Доказательство. Проверим равносильность условий Римана и дю Буа-Реймона.

“Þ” Пусть выполнено условие Римана. Тогда

“Ü” Пусть выполнено условие дю Буа-Реймона. Тогда pg(E_a) = 0 , то есть

Не умаляя общности, можно считать, что эти интервалы попарно не пересекаются и попарно не соприкасаются (всякие два пересекающихся или соприкасающихся друг с другом интервала (a’, b’) и (a”, b”) можно без увеличения суммарной длины заменить одним интервалом (min{a’,a”}, max{b’, b”}) ). Обозначим через D₁ , D₂ ,… сегменты-промежутки между соседними интервалами; число таких сегментов будет не больше к+1, и в каждой точке любого их этих сегментов колебание функции w(f, x) будет < a . Выберем теперь, в соответствии с утверждением 2) леммы Бэра, для каждого из сегментов D_j своё d_j и обозначим за d’ наименьшее из всех d_j (j=1, 2, 3, …, k+1) . Тогда для любого разбиения s с диаметром d(s) < d’ всякий сегмент [x_i-1, x_i] этого разбиения, колебание w(f , [x_i-1, x_i]) на котором будет ³ a , не лежит целиком ни в одном из сегментов D_j . Поэтому для суммарной длины таких сегментов справедлива оценка:

при d(s) < d , если сначала зафиксировать конечный набор (a_i, b_i) с суммой длин меньше e/2 , а затем взять d = min{d’, e/4k} . #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Задача 5.Проверьте выполнение условия дю Буа-Реймона для ф-ии Римана.

Критерий Лебега

Обозначим Е = { x Î [a, b] таких, что w(f, x) > 0 }

Ограниченная на отрезке функция интегрируема на нём по Риману тогда и только тогда, когда множество всех её точек разрыва имеет лебегову меру нуль, то есть оно может быть заключено в конечную или счётную систему интервалов общей сколь угодно малой длины

Доказательство. Проверим равносильность условий дю Буа-Реймона и Лебега.

“Þ” Пусть выполнено условие дю Буа-Реймона, то есть для любого a > 0 множество E_a всех тех точек разрыва функции f(x), колебание в которых ³ a , может быть заключено в конечную систему интервалов общей сколь угодно малой длины. Заметим, что

Для каждого n покроем множество E_1/n конечным набором интервалов общей длины меньше e/2ⁿ . Тогда объединение по всем n ÎN таких наборов будет не более чем счётным набором интервалов, вместе (в объединении) покрывающих множество E и имеющих суммарную длину меньше e/2 + e/4 +e/8 + ...= e .

“Ü” Пусть выполнено условие Лебега. Тогда множество E всех точек разрыва функции f(x) , а вместе с ним и множество Е_a Ì Е для любого a > 0 может быть заключено в конечную или счётную систему интервалов общей сколь угодно малой длины. Осталось заметить, что множество Е_a для любого a > 0 компактно, то есть (в соответствии с критерием компактности на числовой прямой с обычным расстоянием) замкнуто и ограничено. Ограниченность множества Е_a очевидна, Е_a Ì [a, b] . Проверим замкнутость Е_a . Согласно критерию замкнутости, нужно показать, что (Е_a)’ Ì Е_a . Пусть x Î (Е_a)’. Тогда во множестве Е_a найдётся последовательность x_n такая, что x_n ® x . Так как в любой окрестности Ux точки x содержатся все x_n , начиная с некоторого номера, то w(f,Ux) будет ³ w(f, x_n) ³ a. Поэтому и w(f, x) = inf w(f,Ux) будет ³ a , то есть x Î Е_a . #

Примеры: 1) непрерывные функции,

2) монотонные функции,

3) функция Дирихле.

Замечания (о множествах меры нуль):

1) всякое конечное множество есть множество жордановой меры нуль, а всякое

конечное или счётное множество есть множество лебеговой меры нуль,

2) всякое множество жордановой меры нуль есть и множество лебеговой меры

нуль. Обратное, вообще говоря, не верно. Например, множество [a, b] Ç Q

есть множество лебеговой меры нуль, но не жордановой меры нуль,

3) всякое компактное множество лебеговой меры нуль есть и множество

жордановой меры нуль,

4) объединение любого конечного числа множеств жордановой меры нуль есть

множество жордановой меры нуль, а объединение любого конечного или

счётного числа множеств лебеговой меры нуль есть множество лебеговой

меры нуль.

Задача 6.Проверьте выполнение условия Лебега для функции Римана.

Задача 7.Покажите, что интегрируемость по Риману и значение

интеграла Римана не изменятся при изменении значений

функции в любом конечном числе точек, но могут

измениться при изменении значений функции

в счётном числе точек.

14. Функциональные ряды

Функциональным рядом называется выражение вида

a(x) : а₁(x) + а₂(x) + …+ а_n(x) + … ,

то есть числовые ряд, зависящий от параметр х . В частности, функциональными рядами будут степенные ряды

a(x) : а₀ + а₁ (x – x₀) + …+ а_n (x – x₀)ⁿ + …

и тригонометрические ряды

a(x) : а₀ /2 + (а₁ sin x + b₁ cos x) + …+ (a_n sin nx + b_n cos nx) + …

Областью сходимости функционального ряда а(x) называется множество всех тех значений параметра x , при которых слагаемые ряда а_n(x) определены, а сам ряд а(x) сходится.

При построении теории функциональных рядов возникают, в частности, следующие вопросы:

1) Что можно сказать о свойствах суммы S(x) функционального ряда а(x) ,

зная свойства его слагаемых а_n(x) или свойства его частичных сумм S_n(x) ?

Переносятся ли, например, свойства конечных сумм S_n(x) на бесконечные

(счётные) суммы S(x) ?

2) Можно ли данную функцию представить рядом данного вида (то есть как по данной функции определить коэффициенты ряда данного вида, суммой которого в указанной области данная функция является, и как проверить сходимость полученного ряда именно к данной функции во всей указанной области) ?

3) Можно ли данный ряд дифференцировать или интегрировать почленно ? И т. п.

Так уже в начале XIX века было установлено, что сумма S(x) степенного ряда с всюду непрерывными слагаемыми a_n(x) = a_n (x - x₀)ⁿ и с всюду непрерывными частичными суммами S_n(x) сама является непрерывной функцией на всём промежутке сходимости степенного ряда. Однако для произвольных рядов это оказалось неверным: в 1826 г. Абель показал, что сумма S(x) тригонометрического ряда Бернулли

sin x – (sin 2x)/2 + (sin 3x)/3 + …+ (-1)ⁿ⁺¹(sin nx)/n + …

разрывна в точках x = (2k + 1) , где k Z . В связи с этим встал вопрос об условиях непрерывности суммы ряда непрерывных слагаемых. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Пусть ряд a(x) со слагаемыми a_n(x) , непрерывными на множестве A (относительно A ), сходится при каждом фиксированном x A к S(x) , то есть

Условие непрерывности S(x) на множестве A (относительно A ) запишется в виде

Но

| S(x) – S(x₀)| | S(x) – S_n(x)| + | S_n(x) – S_n(x₀)| + | S_n(x₀) – S(x₀)|

Так как S_n(x₀) S(x₀) , то при достаточно больших n третье слагаемое будет < . Второе слагаемое для любого фиксированного n также можно сделать < за счёт непрерывности S_n(x) в точке x₀ :

Всё дело, таким образом, в оценке первого слагаемого | (x)| = |S(x) - S_n(x)| . Но оно с гарантией не превосходит = sup| (x)| (точная верхняя грань берётся по всем x A). Поэтому, если ® 0 при , то и первое слагаемое будет < при достаточно больших n . Условие

при (_*)

достаточное для непрерывности суммы ряда непрерывных слагаемых, было названо Вейерштрассом ( 1841 г. ) равномерной сходимостью (глобальной равномерной сходимостью, или ещё А₁ - сходимостью) ряда a(x) на множестве А . Таким образом,

A₁ – cходимость :

Условие A₁ – cходимости значительно сильнее условия простой (или поточечной) сходимости ряда a(x) при каждом фиксированном x A ( + графическая интерпретация равномерной и простой сходимостей последовательности S_n(x) к S_n(x) на промежутке).

+ примеры: 1) ,

2) ,

3)

Для равномерной A₁ – cх-ти ряда a(x) на множестве A справедлив критерий Коши:

ряд a(x) равномерно A₁ – сходится на множестве A Û

(_**)

Действительно, если ряд a(x) равномерно A₁ – сходится на множестве A , то

и

Поэтому

Наоборот, если выполнено условие (_**) , то заменяя в нём на и переходя к пределу при фиксированном n и m = n + p , получаем

,

что и означает равномерную A₁ – сходимость ряда a(x) на множестве A .

Далее, Вейерштрасс показал, что для равномерной сходимости ряда a(x) на множестве A достаточно, чтобы

ряд a(x) сходился правильно, то есть был бы мажорируем на множестве A некоторым сходящимся числовым рядом: существует сходящийся числовой ряд такой, что при каждом x A и при каждом n N

Доказательство этого утверждения следует из неравенства

с учётом критерия Коши.

Задача 13. Покажите, что всякий равномерно сходящийся ряд становится

правильно сходящимся при подходящей группировке его слагаемых

( слагаемые ряда предполагаются ограниченными ).

Теорема(критерий Дини непрерывности суммы ряда непрерывных слагаемых).

Пусть ряд a(x) со слагаемыми a_n(x) , непрерывными на множестве A (относительно A), сходится просто (поточечно) при каждом фиксированном x A к S(x) . Тогда для того, чтобы сумма ряда S(x) была непрерывна на множестве А , необходимо и достаточно, чтобы ряд a(x) В₃ -сходился (обобщённо поточечно равномерно сходился) к S(x) на множестве А , то есть чтобы выполнялось условие B₃ – cходимости :

Доказательство.

« » Пусть ряд a(x) просто и В₃ –сходится к S(x) на множестве А . Покажем, что сумма ряда S(x) непрерывна на множестве А . Зафиксируем произвольные x₀ A и > 0 и подберём > 0 так, чтобы при |x – x₀| < выполнялось | S(x) – S(x₀)| < . Так как S_n(x₀) S(x₀) при n , то

А так как ряд a(x) В₃ -сходится к S(x) на множестве А , то

Далее, в силу непрерывности S_n(x) в точке x₀

Тогда при |x – x₀| < = min{ , } получаем, что

| S(x) – S(x₀)| £ | S(x) – S_n(x)| + | S_n(x) – S_n(x₀)| + | S_n(x₀) – S(x₀)| <

« » Пусть сумма ряда S(x) непрерывна на множестве А , а ряд a(x) просто сходится к S(x) на множестве А . Покажем, что тогда ряд a(x) В₃ –сходится к S(x) на множестве А . Заметим, что n разность _n(x) = S(x) - S_n(x) также будет непрерывна на множестве А . Поэтому

Пусть n₀ - любой фиксированный номер. Так как _n (x₀) 0 при n , то

При таком номере n и при соответствующем этому номеру > 0 будем иметь:

,

что и означает, что ряд a(x) В₃ –сходится к S(x) на множестве А . #

Замечания.

1) Из доказанного выше критерия Дини следует, что если ряд a(x) со слагаемыми a_n(x) , непрерывными на множестве A (относительно A), сходится просто (поточечно) при каждом фиксированном x Î A к S(x) , то для того, чтобы сумма ряда S(x) была непрерывна в данной точке x₀ множества А (относительно A) ,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

2) Подробнее о разных видах равномерной сходимости см., например,

“История математики. Анализ. Часть II.”

//Методические указания , изд-во ИГУ, 1996, стр. 7-12 .

+ пример:

Задача 14. Обозначим N(x , ) = { n таких, что | S_n(x) – S(x)| < } . Покажите:

1) простая сходимость ряда a(x) к S(x) на множестве А означает,

что множество N(x , ) содержит все номера,

начиная с некоторого номера n₀ ,

2) равномерная А₁ -сходимость ряда a(x) к S(x) на множестве А означает,

что пересечение множеств N(x , ) по всем x A

содержит все номера, начиная с некоторого номера n₀ ,

3) В₃ - сходимость ряда a(x) к S(x) на компакте А означает, что

существует разбиение множества N всех номеров на «отрезки» [1, n₁] ,

[n₁ + 1 , n₂] , … такое, что множество N(x , ) содержит номера из всех отрезков.

Теорема Дини. Если ряд a(x) с непрерывными слагаемыми одного знака сходится

на компакте А к непрерывной S(x) просто, то тогда ряд a(x)

сходится к S(x) и равномерно на А .

Доказательство. С учётом критерия Дини, нужно показать, что в случае, когда множество А – компакт, а слагаемые ряда а(x) одного знака (например, а_n(x) 0 ), В₃ – сходимость становится равносильной А₁ – сходимости. Действительно, так как величины |S_n(x) – S(x)| образуют монотонную при любом фиксированном n последовательность, и выполнено условие В₃ – сходимости, то

При этом соответствующие – окрестности |x – x₀| < , x₀ A , = ( , x₀) образуют открытое покрытие множества А . В силу компактности А , из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие .

Тогда при n n₀ = max {n₁ , n₂ , … , n_m} (где n_k соответствует x_k ) справедливо: |S_n(x) – S(x)| < e , что и означает равномерную А₁ – сходимость ряда a(x) к S(x) .

Замечания.

1) Равномерную А₁ – сходимость последовательности функций S_n(x) к функции S(x)

часто обозначают так: S_n(x) S(x)

2) Теорема Дини указывает критерий равномерной сходимости ряда а(x)

( последовательности S_n(x) ) к S(x) в случае, когда слагаемые ряда а(x)

непрерывны и одного знака ( последовательность непрерыных функций S_n(x)

монотонно сходится к S(x) ), а множество А – компакт:

S_n(x) S(x) на А S(x) непрерывна на А

Некоторые обобщённые методы суммирования рядов

Рассмотрим следующие ряды

а : 1 – 1 + 1 – 1 + …+ (-1)ⁿ⁺¹ + …

b : sin1 + sin2 + … + sin n + …

c : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 2^n-1 + …

Все эти ряды расходятся в обычном смысле (так как их слагаемые не стремятся к нулю при n ). Попытаемся так обобщить понятие сходимости ряда и суммы ряда, чтобы:

1) некоторые расходящиеся в обычном смысле ряды стали бы сходящимися в том или ином обобщённом смысле (содержательность);

2) все ряды, сходящиеся в обычном смысле,

сходились бы и в смысле обобщённой сходимости (регулярность);

3) сходящиеся в смысле обобщённой сходимости ряды образовывали бы линейное пространство (линейность).

Такие обобщения понятия сходимости и суммы ряда возможны, например:

ряд a : а₁ + а₂ + …+ а_n + … называется сходящимся по Фробениусу – Чезаро , если сходится послед-ть S_n^ср. = (S₁ + S₂ + … + S_n)/n средних частичных сумм ряда a ; при этом S^ср = lim S_n^ср называется суммой Фробениуса – Чезаро ряда a

числовой ряд a : а₀ + а₁ + а₂ + …+ а_n + …называется сходящимся по Абелю –Пуассону , если радиус сходимости степенного ряда a(х) : а₀ + а₁ х + а₂ х² + …+ а_n хⁿ + …

не меньше 1 ; при этом величина S = lim S_n(х) при х 1 - 0 называется суммой Абеля - Пуассона ряда a

степенной ряд a(x) : а₀ + а₁ (x – x₀) + а₂ (x – x₀)² + …+ а_n (x – x₀)ⁿ + … называется сходящимся по Эйлеру в данной точке х , если существует функция S(х) , для которой данный степенной ряд является её рядом Тейлора в точке х₀ , то есть выполнено условие (_**) ; при этом величина S(х) называется суммой Эйлера ряда a в точке х

+ проверка линейности, регулярности и содержательности ( на примере ряда а )

всех трёх указанных обобщений понятия сходимости и суммы ряда

Задача 17. а) Исследуйте ряд b на сходимость по Фробениусу – Чезаро.

б) Исследуйте ряд с на сходимость по Фробениусу – Чезаро,

на сходимость по Абелю – Пуассону и на сходимость по Эйлеру.

Мера и интеграл Лебега

Системы множеств

Система множеств S называется полукольцом , если

1) S ,

2) если A S и B S , то и A B S ,

3) если A S , A₁ S и A₁ A , то множество A представимо в виде

A = A₁ + A₂ + A₃ + … + A_k , где все A_i принадлежат S .

Множество Е S называется единицей системы множеств S , если

A S : A E A

Единицей Е системы множеств S может быть только объединение всех множеств, входящих в S . Таким образом, система множеств S будет системой множеств с единицей тогда и только тогда, когда объединение всех множеств, входящих в S , есть множество принадлежащее S .

Система множеств R называется кольцом , если вместе с каждыми двумя множествами она содержит и их пересечение, объединение и разность, то есть

если A R и B R , то и A B R , A B R , A - B R .

Всякое кольцо является и полукольцом, так как = A - A R , и если A R , A₁ R и A₁ A , то множество A представимо в виде A = A₁ + A₂ , где A₂ = A – A₁ R .

Всякое кольцо R вместе с каждыми двумя множествами А и В содержит также и их симметрическую разность A D B = (A - B) + (В - А) . Всякое кольцо есть, таким образом, система множеств, замкнутая относительно операций пересечения, объединения, разности и симметрической разности, выполняемых любое конечное число раз.

Кольцо R с единицей называется алгеброй множеств и обозначается M .

Кольцо R называется кольцом, порождённым системой множеств S и обозначается R(S) , если оно является наименьшим из всех колец, содержащих систему множеств S . Кольцо R(S) , порождённое системой множеств S , есть пересечение всех колец, содержащих S . Кольцо R(S) , порождённое полукольцом S , есть совокупность тех и только тех множеств, которые представимы в виде суммы конечного числа попарно не пересекающихся множеств из полукольца S , то есть если кольцо R порождено полукольцом S , то

A R(S) A = A₁ + A₂ + … + A_k , где все A_i S

Кольцо R называется - кольцом, если оно замкнуто относительно объединения любого счётного числа множеств, то есть если все A_i (i = 1, 2, 3, …) принадлежат R, то и их объединение также принадлежит R .

- кольцо R с единицей называется - алгеброй множеств. Другими словами,

- алгеброй множеств называется алгебра множеств M , замкнутая относительно объединения любого счётного числа множеств. Если M - - алгебра множеств, то она замкнута и относительно пересечения любого счётного числа множеств, так как

- кольцо R называется - кольцом, порождённым системой множеств S и обозначается R(S) , если оно является наименьшим из всех s - колец, содержащих систему множеств S . - кольцо R(S) , порождённое системой множеств S , есть пересечение всех - колец, содержащих S . - кольцо R(S) , порождённое полукольцом S , есть совокупность тех и только тех множеств, которые представимы в виде суммы конечного или счётного числа множеств из полукольца S , то есть

если - кольцо R(S) порождено полукольцом S , то

A R(S) A = A₁ + A₂ + … + A_k + … , где все A_i S

+ примеры:

1) - не полукольцо,

2) - полукольцо с единицей,

3) - полукольцо c единицей,

4) - полукольцо с единицей,

5) - полукольцо без единицы,

1') - не полукольцо,

2') - полукольцо с единицей,

3') - полукольцо c единицей,

4') - полукольцо с единицей,

5') - полукольцо без единицы,

6) S – совокупность всех конечных подмножеств данного множества,

7) S - полная система попарно несовместных элементарных событий,

S = { , A₁ , A₂ , … , A_n , }

Лебегово продолжение меры

Заметим сначала, что попытка продолжения меры Пеано-Жордана pg с кольца R(S) на возможно более широкую - алгебру (или - кольцо) множеств наталкивается на следующие проблемы:

1) мера pg аддитивна на полукольце S и, следовательно, на кольце R(S) ,

но она не аддитивна даже на минимальной - алгебре M(S)

борелевских множеств, так как, например:

2) минимальная - алгебра борелевских множеств M(S) имеет мощность

континуум, в то время как максимальная - алгебра множеств

M° = {A E} = E° имеет мощность гиперконтинуум,

Пусть – - аддитивная мера на полукольце с единицей Е . Продолжим её

с полукольца S на кольцо R(S) и для всякого множества A E определим его внешнюю меру *(A) как где точная нижняя грань берётся по всем возможным покрытиям множества A E конечными или счётными системами множеств A_i S .

Будем говорить, что множество A E измеримо (измеримо по Лебегу) , если

+ пример: