Методика расчета переходных процессов
ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
Расчет переходных процессов операторным методом необходимо выполнять в следующей последовательности:
- по известной для данной цепи функции-оригиналу u(t) определить функцию-изображения U(p) с использованием таблицы [2] или формул прямого преобразования Лапласа [1];
- по законам Ома или Кирхгофа составить уравнение или систему уравнений для операторных токов и напряжений. Операторное сопротивление Z(p) участка цепи получают из комплексного Z(jw) сопротивления этого участка заменой множителя jw на оператор р;
- решить уравнение или систему уравнений и определить операторное изображение F(p) искомой функции;
- преобразовать изображение найденной функции F(p) в функцию-оригинал f(t) по таблице [2], теореме разложения или по формулам обратного преобразования Лапласа [1].
Пример расчета переходных процессов операторным методом приведен в приложении Б.
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Абрамов Ю.Н., Усов Б.Н. Теоретические основы электротехники. Часть 1. Учебное пособие – ВИКИ,1986. – 236с.
2 Абрамов Ю.Н., Парфишин В.П., Сологуб Г.В. и др. Теоретические основы электротехники. Часть 2. Учебное пособие – ВИКА,1993. – 256с.
3 Абрамов Ю.Н., Корнеев Б.М., Сологуб Г.В. и др. Теоретические основы электротехники. Учебное пособие к практическим занятиям – ВИКИ, 1990. – 214с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)
Пример расчета переходных процессов классическим методом
Рисунок А.1
До замыкания контакта S в цепи, представленной на рисунке А.1, имел место установившийся режим при постоянном напряжении U = 100В. В момент t = 0 контакт S замыкается. Найти выражения напряжения на конденсаторе для двух случаев: 1) R = 250 Ом, L = 667 мГн, С = 2 мкФ; 2) R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 5 мкФ.
Р е ш е н и е. В соответствии с методикой расчёта переходных процессов классическим методом осуществляем расчеты в следующей последовательности.
1. Для цепи, получаемой после коммутации, составим систему уравнений по законам Кирхгофа
2. Выразим все переменные системы уравнений через или производную от этого напряжения:
;
из (3): ;
из (1): ;
Подставляем полученные значения токов в (2):
,
.
Окончательно получаем ЛНДУ второго порядка
.
Поделив на коэффициент при старшей производной, получим
.
3. Решение этого уравнения ищем в виде
,
причем
,
где - постоянные интегрирования,
- корни характеристического уравнения.
В этой цепи заряд конденсатора произойдет до напряжения U, приложенного ко входу цепи, т.е. .
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Полученное характеристическое уравнение второго порядка и, следовательно, оно имеет два корня:
.
1. Подставим в уравнение для корней численные значения параметров элементов первого случая:
,
т.е.
.
Получены корни действительные и различные, следовательно, свободную составляющую напряжения на конденсаторе будем искать в виде
,
тогда
.
Для определения двух постоянных интегрирования А1 и А2 необходимо использовать второе уравнение. Таким уравнением является
Найдем начальные значения uC (0) и i3 (0). Напряжение на конденсаторе в момент коммутации (t = 0) остается таким же, каким оно было до коммутации, т.е.
В.
На основании первого закона Кирхгофа
.
Значение тока не может измениться скачком, поэтому
А .
Так как напряжение на резисторе R здесь всегда равно напряжению на конденсаторе, то
А .
Следовательно,
.
Перепишем выражения и для момента времени t = 0 и затем, подставляя в них = 50В и = 0, получим
50 = А1 + А2 +100;
0 = –500 А1 –1500 А2 .
Отсюда
А1 = –75В, А2 = 25В.