Системы линейных алгебраических уравнений

Пример 1. Решим систему уравнений

а) матричным способом (с помощью обратной матрицы);

б) по формулам Крамера;

в) методом Гаусса.

Решение:

а) система может быть записана в виде матричного уравнения. Введём следующие обозначения:

.

Тогда система равносильна следующему матричному уравнению

.

Умножим обе части равенства на слева, получим решение системы

.

Решим систему, используя полученную формулу. Найдем .

1) Составим матрицу алгебраических дополнений

Получили матрицу из алгебраических дополнений:

2) Транспонируем её

.

3) .

Тогда матрица

Следовательно, решением системы являются:

Рассмотренный способ решения называется матричным.

б) Решим систему методом Крамера.

Заменим первый столбец в определителе столбцом .

Заменим второй столбец в определителе столбцом .

Заменим третий столбец в определителе столбцом .

Тогда

в)Решим систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу и приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

̴ ̴

̴ ̴ .

Так как ,система является совместной и определенной.

Соответствующая последней матрице система уравнений имеет треугольный вид:

Из последнего (третьего) уравнения . Подставим во второе уравнение и получим . Тогда .

Подставим и в первое уравнение .

Найдем .

Итак , ; ; .

Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти решение

Решение: Число уравнений в системе , а число неизвестных . Для решения системы применим метод Гаусса, одновременно мы исследуем систему на совместность.

Составим расширенную матрицу системы

.

С помощью элементарных преобразований будем получать «0» ниже диагональных элементов. Для удобства вычислений поменяем местами первый и 4-й столбцы, чтобы в первой позиции первого столбца стояла «1». При этом будем помнить, что в первом столбце после перестановки будут стоять коэффициенты при переменной , а в 4-м столбце будут стоять коэффициенты при переменной .

В полученной матрице умножим 1-ю строку на (-2) и прибавим ко второй строке; затем умножим первую строку на (-7) и прибавим к третьей.

̴ .

В результате преобразований третья строка превратилась в нулевую, такую строку можно вычеркнуть.

Так как ,система является совместной и неопределенной, так как .

Последней матрице соответствует система ступенчатого вида, состоящая из двух линейно независимых уравнений.

Из каждого уравнения можно найти по одной переменной, значит, остальные две переменные из четырех могут принимать любые действительные значения, т.е. будут свободными.

Выпишем систему, помня о перестановке столбцов коэффициентов, соответствующих переменным и .

Из последнего (2) уравнения найдём

при этом переменные, перенесённые в правую часть равенства, , - будут свободными. Подставив полученное значение в уравнение (1), найдём из него переменную :

Таким образом, переменные и оказались выраженными через свободные переменные (зависимые). Такие переменные называются базисными.

Мы получили общее решение системы

где .

Запишем общее решение в другом виде:

Пусть , а , где - произвольные действительные константы.

Тогда общее решение можно записать в виде столбца

,

где .

Придавая свободным переменным произвольные числовые значения, будем получать из общего решения частные решения системы.

Например, , тогда .

Частное решение .

Например, , тогда .

Частное решение .

Таких частных решений будет бесконечное множество.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Решить систему

а) матричным способом (с помощью обратной матрицы);

б) по формулам Крамера.

2. Решить систему

а) матричным способом (с помощью обратной матрицы);

б) по формулам Крамера,

в) методом Гаусса.

3. Исследовать системы на совместность и в случае совместности найти все решения:

а) б)

4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) однородной системы:

Ответы:

1. (16, 7). 2. (1, 3, 5).

2. а) Система несовместна;

б) ;

где