Контрольная работа № 3

Контрольная работа №3

Аналитическая геометрия
ТЕМА 3. Аналитическая геометрия

1. Уравнения линии в декартовой системе координат.

2. Параметрические уравнения линии.

3. Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве.

4. Линии второго порядка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с.

3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с.

4. Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. – СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полн. курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.

7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

8. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с.

Решение типового варианта контрольной работы

Задача №1.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:

1) уравнение стороны AD;

2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

3) длину высоты BK;

4) уравнение диагонали BD;

5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и .

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

Рис. 2

1) Составим уравнение прямой AD.

а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(3.1)

По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т.е. .

Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или .

Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида - уравнение с угловым коэффициентом.

б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид

(3.2)

где направление определяется угловым коэффициентом .

Условие параллельности двух прямых и имеет вид

(3.3)

По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид .

Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .

Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: .

2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид

(3.4)

Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой .

Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

(3.5)

Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна = .

4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка .

а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами

(3.6)

По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно .

б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку .

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

5) Найдем тангенс угла между диагоналями и .

а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .

б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .

в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно, . Отсюда .

Задача №2.

Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:

(3.7)

Тогда уравнение плоскости в силу уравнения (3.7) имеет вид или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .

2) Найти нормальный вектор плоскости .

Решение.

Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .

Рис. 3

Для плоскости нормальным является вектор = .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.

3) Найти косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Угол между двумя плоскостями и представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством

Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для плоскости - равенствами , , . Следовательно, = .

4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

(3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .

Условие параллельности плоскостей и имеет вид

(3.9)

Так как плоскости и параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

5) Найти расстояние от точки до плоскости : .

Решение.

Расстояние от точки до плоскости представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

(3.10)

Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Следовательно, .

6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид

(3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения или .

7) Найти направляющий вектор прямой .

Решение.

Направляющий вектор - это вектор, параллельный прямой.

Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор имеет координаты .

Рис. 4

Для рассматриваемой прямой направляющим вектором является вектор .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.

8) Найти косинус угла между прямыми и .

Решение.

Угол между двумя прямыми и представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством

Для прямой координаты направляющего вектора определяются равенствами , , . Для прямой - равенствами , , . Значит, .

9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь - координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых и имеет вид

(3.12)

Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид .

10) Найти угол между прямой : и плоскостью : .

Решение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен , где - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Рис. 5

Угол между прямой и плоскостью определяется формулой

Для плоскости : координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для прямой : координаты направляющего вектора - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен = . Следовательно, .

11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .

Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .

Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид

(3.13)

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид .

Так как прямая перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид: .

13) Найти координаты точки пересечения прямой : и плоскости : .

Решение.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости представляют собой решение системы

(3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой : и подставим выражения для в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .

Задача №3.

К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Эллипс

Рис. 6

Гипербола Гипербола .

Рис. 7 Рис. 8

Парабола Парабола

Рис. 9

Рис. 10

Парабола Парабола

Рис. 11

Рис. 12

Приведем примеры решения задачи №3.

Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки: .

Выделим полный квадрат: . Отсюда . Разделим обе части равенства на 25: . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .

В нашем примере , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Рис. 13

Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты: .

В скобках выделим полный квадрат: ; . Отсюда .

Выполним замену переменных . После этого преобразования уравнение параболы принимает канонический вид , вершина параболы в системе координат расположена в точке .

Рис. 14

Задача №4.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ;

2) построить полученные точки;

3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение.

Сначала построим таблицу значений и :