Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени
Дl. Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача 1.
S=S(t) S
M0 M Mi
Пусть в некоторый момент времени t тело находится в точке М на расстоянии от M0, а в t + ∆T на расстоянии Mi от M0 ∆t. S(t + ∆t) – S(t) = ∆S
Рассмотрим 1)
→ равномерное движение
2) → средняя скорость не равномерное движение
∆t→0
Если существует - скорость движение в данный момент времени
Задача 2.
γ=γ(t) – количество вещества
t→γ(t)
t+∆t→γ(t+∆t)
∆t→γ(t→∆t)- γ(t)= ∆ γ
Д2.1. Понятие производной функции в точке.
- это предел и называется производной функции y=f(x) в точке х0 и обозначается
(или
).
Опр. Производной функции у=f(x) называется предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю.
(в предложении что это предел существует)
Если это предел существует, существует и производная в точке х0, и функция называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
Д2.2 Односторонние производные функции в точке.
Д3. Связь производной в точке с ее непрерывностью в этой точке.
Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость (существования производной) в точке. Поэтому при применении производной в конкретной задаче необходимо учитывать область определения как самой функции, так и ее производной.
Д4.1 Геометрический смысл производной
Из задачи о проведении касательной к графику функции =>, что угловой коэффициент касательной k=tgα=f’(x0). Поэтому с геометрической точки зрения производная f’(x0 есть tg угла наклона касательной проведенной к графику функции f(x) в (.) с абсциссой x0.
T: y-y0=f’(x0)(x-x0)–уравнение касательной
О1)Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0) называется предельное положение секущей М0М при стремлении точки М по кривой к точке М0
N:y-y0=(1/f’(x0))*(x-x0)-норм-я
Прям-я(нормаль)
Значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции данной точке.
Дифференцируемость функции в точке с геометрической точки зрения означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную. Если функция не дифференцируема в точке, то это означает, что касательная к графику функции в точке проходит вертикально ( ), или в точке к графику функции можно провести больше, чем одну касательную (производная не существует).
Д4.2 Физический смысл производной
Значение производной функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке.
Физический смысл производной зависит от физического смысла рассматриваемой производной.
Положительное значение производной в точке означает, что скорость изменения функции в этой точке положительна и, следовательно, функция растет. Отрицательное же значение производной говорит о факте ее убывания.
1)S=S(t)-путь пройд-й за t при нерав-ом прям-ом движ.
∆S/∆t=Vcp на [t0,t0+∆t]; V(t0)=lim(∆t->0)∆S/∆t=S’(t0)
Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени.
2)Q=Q(t) кол-во электр-а протек-го через поперечн. сеч-е пров-ка за время t.
∆Q/∆t=I сред-я на промеж-е [t0,t0+∆t]
Сила тока в момент времени t0 есть произ-е от кол-ва эл-ва по времени
3)m=m(x) масса неоднор-й стержень в зав-ти от его длины; ∆m/∆x=ρср-сред-я плотность стержня на уч-ке[x0,x0+∆x]; ρ(x0)=lim(∆x->0)∆m/∆x=m’(x0) линейная плот-ть неод-го стержня в (.) x0 есть произ-я от массы стержня по длине.
4)m=m(t)-кол-во вещ-ва, прореаг-го за t; ∆m/∆t=Vср-средняя скор реак-и на [t0,t0+∆t]; V(t0)=lim(∆t->0)∆m/∆t=m’(t0)- скор р-и в момент t есть произ-я массы по времени