В о п р о сы к к о л л о к в и у м у

Список литературы

1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Линейная алгебра, учебник

2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия, учебник

3. А.В. Ефимов, А.С. Поспелов, Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов, часть 1, М. Физмат, 2004

4. Н.И. Лобкова, Ю.Д. Максимов, Ю.А. Хватов, Математика, том 1, изд-во Политехнического университета, 2007

5. Н.И. Лобкова, М.В. Лагунова, В.М. Семенов, Математика, выпуск 1, Основы линейной алгебры и аналитической геометрии, Опорный конспект, изд-во Политехнического университета, 2005

Ч а с т ь 1

Глава 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

Тема 1. Определители.

§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка.

§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.

§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.

§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.

§ 5. Определители 4-го порядка.

§ 6. Определители n-го порядка.

Задачи по теме 1.

Тема 2. Матрицы.

§ 1. Виды матриц, равенство матриц.

§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.

§ 3. Умножение матриц и его свойства.

§ 4. Обратная матрица и ее свойства.

§ 5. Ранг матрицы.

Задачи по теме 2.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

§ 1. Основные понятия.

§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

§ 4. Исследование систем линейных уравнений.

§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

§ 6. Однородные системы линейных уравнений.

Задачи по теме 3.

Ответы к задачам.

1. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И

§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка.

A = - матрица 2-го порядка; - элементы матрицы (i = 1,2; j = 1,2).

Определитель 2-го порядка: det A = = − .

Правило:

(+) (−)

Пример.

= 2×(-3) − 1×4 = -6 - 4 = - 10

A = - матрица 3-го порядка, - элементы матрицы (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).

Определитель 3-го порядка: det A = =

= + + − − −

Правило:

(+) (−)

Пример. = + + − − − =

= - + − − − = −

§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.

1. Определитель не изменится, если все строки определителя заменить соответствующими столбцами или наоборот: все столбцы определителя заменить соответствующими строками. (Такое действие над строками и столбцами называется транспонированием матрицы).

=

2. При перестановке двух каких-либо строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

= −

3. Общий множитель некоторой строки (или некоторого столбца) можно вынести за «знак» определителя. (Под «знаком» определителя понимается не знаки «+» или «-», а обозначения определителя: «det» или « »).

= λ×

4. Определитель, имеющий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.

= 0

5. Определитель, имеющий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю.

= 0

6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю.

= 0

7. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей следующего вида:

= +

8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на любое число.

=

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

= =

§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.

A =

M_ij- минор элемента - это определитель матрицы 2-го порядка, полученной из данной матрицы 3-го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:

Þ M₁₁= Þ M₁₂ =

Þ M₁₃= Þ M₂₁ =

Þ M₂₂= Þ M₂₃ =

Þ M₃₁= Þ M₃₂ =

Þ M₃₃ =

A_ij- алгебраическое дополнение элемента :

A₁₁ = M₁₁ A₁₂ = - M₁₂ A₁₃ = M₁₃

A₂₁ = - M₂₁ A₂₂ = M₂₂ A₂₃ = - M₂₃

A₃₁ = M₃₁ A₃₂ = - M₃₂ A₃₃ = M₁₃

Правило (выбора знака):

Пример. A =

A₁₁ = = - 4 A₁₂ = - = - 8 A₁₃ = = - 10

A₂₁ = - = 3 A₂₂ = = 6 A₂₃ = - = - 5

A₃₁ = = 23 A₃₂ = - = - 4 A₃₃ = = - 5

§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.

Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

det A =

det A = × + × + × - разложение по 1-й строке;

det A = × + × + × - разложение по 2-й строке;

det A = × + × + × - разложение по 3-й строке;

det A = × + × + × - разложение по 1-му столбцу;

det A = × + × + × - разложение по 2-му столбцу;

det A = × + × + × - разложение по 3-му столбцу.

Пример.

Вычислить определитель: det A =

а) путем разложения по строке или столбцу;

б) с использованием его свойств.

разложение по 1-й строке: det A = 1×(-4) + 2×(-8) + 3×(-10) = -4 -16 -30 = -50;

разложение по 3-му столбцу: det A = 3×(-10) + 4×(-5) + 0×(-5) = -30 -20 + 0 = -50.

с использованием его свойств:

det A = = =

= = = 1× + 0 + 0 = - 50

§ 5. Определители 4-го порядка.

A = - матрица 4 -го порядка; - элементы матрицы (i = 1, … , 4; j = 1, … ,4).

M_ij- минор элемента - это определитель матрицы 3-го порядка, полученной из данной матрицы 4-го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:

Þ M₁₁=

Þ M₂₃ =

Þ M₄₂ = и т.д.

A_ij- алгебраическое дополнение элемента :

A₁₁ = M₁₁ , A₂₃ = - M₂₃ ,A₄₂ = M₄₂ ,A₃₄ = - M₃₄ и т.д.

Правило (выбора знака):

Пример. A =

A₁₁ = = = 2× + 0 − 3× = −24 − 51 = −75

A₂₃ = − = = − (0 − 1× + 0) = = 8 − 0 = 8

A₃₄ = − = = − =

= = − =

= = − (0 − 0 + 1× ) = − = −24

Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:

× + × + × + × = × + × + × + × =

= × + × + × + × = × + × + × + × =

= × + × + × + × = × + × + × + × =

= × + × + × + × = × + × + × + ×

Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

det A = = × + × + × + × , i = 1, 2, 3, 4

или:

det A = = × + × + × + × , j = 1, 2, 3, 4

Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков(свойства 1÷9).

Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.

Пример.

det A = = =

= = =

= = =0 + 0 + 0 + 1× × =

= = =

= = =

= = = 0 + 1× × + 0 =

= − = −(135 + 44) = −179.

§ 6. Определители n-го порядка.

A = - матрица n - го порядка, - элементы матрицы (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n).

M_ij- минор элемента - это определитель матрицы (n - 1) - го порядка, полученной из данной матрицы n- го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца.

A_ij- алгебраическое дополнение элемента .

Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n- го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:

× + × + … + × = × + × + + × , i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.

Определитель n- го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n- го порядка на их алгебраические дополнения:

det A = = × + × + … + × = × + × + + × ,

i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.

Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков(свойства 1÷9).

Пример. Вычислить определитель n-го порядка: det A = .

Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1):

det A = .

Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

det A = 1×( )×( )× … ×( ) = ( )×( )× … ×( ).

Пример. Вычислить определитель n-го порядка: det A = .

(Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1).

Все строки прибавим к первой строке:

det A =

Из первой строки вынесем общий множитель:

det A = ( )×

Вычтем первую строку из всех остальных строк:

det A = ( )× = ×( ).

Задачи по теме 1.

u. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

v. Вычислить определители 3-го порядка:

− № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу;

− № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

w. Вычислить определители 4-го порядка.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Дополнительные задачи.

1. Найти многочлен: P(λ) = и вычислить его корни.

2. Для матрицы A = вычислить: × + × +…+ × и

× + × + + × , где i ≠ j ( - алгебраическое дополнение элемента ).

Вычислить определители n-го порядка:

3. 4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11. = min {i,j} 12. = max {i,j}

2. М А Т Р И Ц Ы

§ 1. Виды матриц,равенство матриц.

A _{m, n}= - прямоугольная матрица размером m n

A^T _{n, m} = - транспонированная матрица размером n m

_{m, n} = - нулевая матрица размером m n

A _{1, n} = - матрица-строка размером 1 n

A _{n, 1} = - матрица-столбец размером n 1

A _{n, n} = - квадратная матрица порядка n

A _{n, n} = - верхнетреугольная матрица порядка n

A _{n, n} = - нижнетреугольная матрица порядка n

D _{n, n} = - диагональная матрица порядка n

E _{n, n} = - единичная матрица порядка n

Равенство матриц.

A _{m, n} = , B _{p, q} =

A _{m, n} = B _{p, q} Û

§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.

К линейным действиям с матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение матрицы на число.

1. Сложение и вычитание матриц.

A _{m, n} = , B _{m, n} = - матрицы одинакового размера.

A+ B= - сумма матриц;

A- B= - разность матриц.

Пример.

A= , B= Þ A+ B= = ,

A- B= =

Свойство нулевой матрицы: A+ = A- = A

2. Умножение матрицы на число.

A _{m, n} = , λ - действительное число Þ λ×A=

Пример. A= , λ = 2 Þ 2×A= 2× = .

Умножение матрицы на числа 0 и 1: 0×A= ; 1×A= A.

Противоположная матрица: - A= (-1)×A

Свойства противоположной матрицы: A+ (- A) = ; A- B= A+(- B).

ами

(A, B, C - матрицы одинаковых размеров; λ, α, β - действительные числа):

1. A+ B= B + A(коммутативность сложения матриц)

2. (A+ B) + C= A+ (B + C) (ассоциативность сложения матриц)

3. α×(β×A)= (α×β)×A (однородность относительно умножения на число)

4. (α + β)×A= α×A+ β×A(дистрибутивность относительно сложения чисел)