Д14.2 т. роля. (о нулях производной)
Если функция у = f(x) :
1) непрерывна в замкнутом промежутке [а; b],
2) дифференцируема в открытом промежутке (а;b)
3) и имеет на концах интервала одинаковые значения f(а) = f(b),
то внутри интервала существует хотя бы одна такая точка с, производная функции в которой равна нулю: f'(с) = 0
Геометрический смысл теоремы Роля заключается в том, что, если функция удовлетворяет всем условиям теоремы, то на дуге линии у = f(x) между ее концами найдется хотя бы одна точка, в которой касательная проходит параллельно оси ОХ.
Если значения непрерывной функции на концах интервала равны, то соединить их можно либо прямой линией, параллельной оси ОХ, и тогда во всех точках интервала производная функции будет равна нулю, либо мы проведем график функции так, что хотя бы один раз пройдем через наибольшее или наименьшее значения функции, а значит выполнятся все условия теоремы Ферма, и в точках наибольшего или наименьшего значений функции производная будет равна нулю. (рис)
Так же, как и в теореме Ферма, в теореме Ролля обязательным условием является дифференцируемость функции во внутренних точках интервала. Нарушение этого условия (при выполнении остальных) означает наличие в интервале таких точек, в которых функция достигает наибольшего или наименьшего значений, но производная в этих точках не существует.
Следствие из теоремы Ролля. Если в теореме Ролля f(a)=f(b)=0, то точки x=a, x=b называются нулями функции, и тогда, согласно теореме Ролля, между двумя нулями функции обязательно найдется хотя бы один нуль ее производной.
Д14.3 Т. Лагранжа (о конечных приращениях функции)
Если функция y=f(x):
1) Непрерывна в замкнутом промежутке [a;b],
Дифференцируема в открытом промежутке (a;b),
То внутри интервала существует хотя бы одна такая точка с, в которой имеет место равенство
формула Лагранжа
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что, если функция удовлетворяет всем условиям теоремы, то на дуге линии y=f(x) между ее концами найдется точка, в которой касательная проходит параллельно хорде, стягивающей концы дуги кривой. (Рис)
Действительно, левая часть формулы представляет собой тангенс угла наклона хорды АВ, а правая часть формулы
-геометрически есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику функции в точке с.
Согласно теореме Лагранжа эти значения равны, а значит касательная и хорда параллельны.
Следствие:
Д14.4 Т. Коши.
Если функции y=f(x) и g(x):
1) непрерывны в замкнутом промежутке [a,b],