Степенной ряд.Обл-ть сх-ти ст-ого ряда
Опред-ие1:Степенным рядом назв. функциональный ряд вида:
Легко увидеть, что ряд (1) сходится в точке x=0, а ряд (2) в точке x=x0. Заменой y=x-x0 исследование сходимости ряда (2) переходит в исследование сходимости ряда (1).
Опред-ие2:Мн-во значений х, при кот-ых степенной ряд (1) сх-ся /расх-ся назыв-ся областью сх-ти /расх-ти степенного ряда.
- Всякий ст-ой ряд имеет свой радикус сх-ти и интервал сх-ти (-R;R)при x=+/-R ряд может сх-ся /расх-ся для каждого конкретного ряда этот «?» решается индивид-но
- областью сх-ти ст-ого ряда (1) явл-ся интервал сх-ти (-R;R)с возм-но присоединённой 1 или 2 точками в зав-ти от того, как ведёт себя ряд на концах интервала.
![]() | |||
![]() | |||
38. Ряды Тейлора и Маклорена:
Пусть ф-я f(x) опр. в окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные любого порядка.
Ряд вида:
(1) – ряд Тейлора.
(2)
ряд Маклорена.
Достаточным условием разложения в ряд Тейлора явл. ограниченность ф-и и всех ее производных в некоторой окрестности U(x0) в точке х0 одним и тем же числом С. |f(n)(x)|<C для любого n.
Разложение, тогда для любого х принадлежащего U(x0) ряд Тейлора ф-и сходится к значению ф-и f(x) в этой точке.
Если ф-я разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.
6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:
- Находим критические точки первого рода;
- Вычисляем значение функции в критических точках и на концах отрезка;
- Среди найденных значений выбираем максимум и минимум.
Если промежуток произвольный, то находим значение функции только в экстремумах.
21. Площадь плоских фигур:
Пусть функция y=f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а,в], g(0)≥0.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=f(x) и прямыми х=а, х=в и у=0.
S такой трапеции: S = , f(x)≥0
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=-f(x), у=0, х=а, х=в.
S такой трапеции: S = , f(x)≤ 0.
Длина дуги кривой:
L= dx
Объем тела вращения:
V=π dx
22. Несобственные интегралы с бесконечными пределами:
Пусть функция f(x) непрерывная в промежутке [a,∞), тогда полагают . Если существует конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае интеграл расходится. Аналогично высчитывается на промежутке (-∞,b].
23. Несобственный интеграл от неограниченных функций:
Если функция f(x) не ограничена в любой окрестности точки с промежутка [a,b] и непрерывна в этом промежутке за исключением точки х=с, то полагают .
Если в первой части равенства существуют конечные пределы, то несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится
24. Дифференциальные уравнения:
Уравнение вида F(х,у,y’,y”,…,y(n))=0 называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка.
Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение F(х,у,y’,y”,…,y(n))=0, называется порядком этого уравнения.
Решением ДУ называется такая функция y=f(x), для которой выполняется тождество F(х,у(х),y’(х),…,y(n)(х))=0. График решения ДУ называется интегральной кривой.
Процесс отыскивания решений называется интегрированием ДУ.
.