Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Линейная алгебра

Понятие и формы записи комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида , i - символ, называемый мнимой единицей и обладающий свойством . Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются через Re z и Im z соответственно.

Всякое комплексное число может быть изображено точкой M(x,y) с абсциссой x и ординатой y в координатной плоскости, называемой комплексной(см. рис. 1).

Рис. 1

Число называется модулем комплексного числа , обозначается символом |z| и равно расстоянию от начала координат О до точки M, изображающей число z.

Угол φ между положительным направлением оси Оx и вектором называется аргументом Arg z комплексного числа . При этом если движение от оси Ox осуществляется против часовой стрелки, и в противном случае. Значения Arg z определяется неоднозначно, с точностью до слагаемых, кратных . Поэтому из всех значений Arg z выбирается главное значение, которое лежит в интервале и обозначается через arg z.

Главное значение arg z вычисляется по формуле

Пример 1 Для числа имеем

Запись называется алгебраической формой числа z. Из прямоугольного треугольника OAM (см. рис. 1) получаем Таким образом, справедливо равенство

представляющее тригонометрическую форму числа z. Обозначив символом выражение , получаем показательную форму комплексного числа z

Например,

Пример 2 Дано комплексное число . Требуется записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

1. Найдем алгебраическую форму числа a:

. Числу a соответствует точка М(-1; ), изображенная на рис. 2.

Рис. 2

Найдем модуль и аргумент числа а

,

Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

Основы дискретной математики

Теория множеств

Множество – это совокупность элементов, представляющих между собой единое целое. Имеют место различные операции над множествами. Через обозначается отношение принадлежности, т.е. х А означает, что элемент х принадлежит множеству А. Если х не является элементом множества А, то это записывается х А. Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Мы пишем А=В, если А и В равны, и А ≠ В в противном случае. Через обозначается отношение включения множеств, т.е. А В означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае А называется подмножеством В, а В — надмножеством А. Если А В и А≠В, то А называется собственным подмножеством В и в этом случае пишем A B. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через 0. Семейство всех подмножеств данного множества А обозначается через Р(А). Объединением множеств А и В называется множество A B={x │ x А или х В}. Пересечением множеств А и В называется множество А В={x │ х А и х В} Разностью множеств Аи В называется множество А\В={х │ х А и х В}. Кроме того встречается обозначение «–А», которое подразумевает краткую запись U\A, где U – универсум, то есть множество, включающее в себя все другие множества. Тогда « - А » будем считать дополнением к множеству А.

Диаграммы Венна (круги Эйлера - Венна) используются для наглядного изображения множеств. Например:

A B	А В	A B	А\В

Пример 1. Используя диаграммы Эйлера – Венна докажите равенство:

Построим диаграммы для левой и правой частей уравнения:

Выполним по порядку действий левую часть: а) , б)

Аналогично в правой части: а) , б) в)

Получив две одинаковые фигуры в ответе, будем считать, что равенство доказано.

Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .