Различные уравнения прямой

Говорят, что уравнение есть уравнение линии, если выполняются два условия:

1) если точка принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ;

2) если координаты точки удовлетворяют уравнению , то .

Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2^*):

2^*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению .

Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где - многочлен от переменных и , т.е. сумма членов вида , .

Число называется степенью члена, где .

Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7.

Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена .

Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.

Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 53).

Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .

1. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором (рис. 54). Этот факт будем обозначать так: .

Если точка принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 5⁰):

, если ;

, если ;

, если .

Если , то || . Следовательно,

, если ;

, если ;

, если .

Итак, доказано, что точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

(если ); (10)

(если ); (11)

(если ). (12)

Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

В уравнениях (10)-(12) - координаты фиксированной точки прямой ; - координаты направляющего вектора прямой ; - текущие координаты произвольной точки прямой .

2. Параметрическое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором .

(рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).

Записывая это условие в координатном виде, получаем:

или (13)

Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называется параметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точки существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно, и .

3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть (рис. 55). Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , т.е.

.

Таким образом, прямая задана точкой и направляющим вектором . Применяем каноническое уравнение прямой (10) (см. пункт 1):

(14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и .

Заметим, что если или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.

4. Уравнение прямой в «отрезках».

Пусть прямая пересекает ось аффинной системы координат в точке , ось - в точке , где (рис. 56).

Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:

;

; ,

откуда получаем уравнение:

(15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».

Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью , в – ордината точки пересечения прямой с осью аффинной системы координат.

5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

Пусть - прямая, не параллельная оси (рис. 57), - направляющий вектор прямой . Так как || , а , то || . Следовательно, || . Поэтому (см. условие коллинеарности векторов в координатах).

Число называется угловым коэффициентом прямой .

Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).

Замечание. Если прямая задана в прямоугольной системе координат , то имеет простой геометрический смысл: , где - угол наклона прямой к оси , т.е. направленный угол (рис. 58).

Пусть прямая задана точкой и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой :

и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим:

(16)

Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть - угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е.

. (17)

Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью .