Порядок выполнения работы. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

Вычисление производных.

Цель: -повторить правила и формулы вычисления производных;

- закрепить навыки вычисления производных.

Теоретический материал.

Пусть величина у зависит от аргумента х как у = f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x₁, x₂, то мы получаем величины у₁= f(x₁), и у₂ = f(x₂). Разность двух значений аргумента x₂, x₁ назовём приращением аргумента и обозначим как Δx = x₂-x₁. Если аргумент изменился на Δx = x₂-x₁ , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции

у₁ = f(x₁), у₂ =f(x₂) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:

Δf = у₁ – у₂ = f(x₂ ) - f(x₁) . Считается, что если величины x₂ и x₁, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx = x₂ – x₁, - бесконечно мало.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало).

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Правила дифференцирования (и, v, w — функции аргумента х, по которому

производится дифференцирование, с - постоянная).

1. Производная алгебраической суммы

2. Производная произведения

3. Производная частного (дроби)

4. Производная сложной функции (функции от функции).

Если

Таблица основных формул дифференцирования

№ п/п	Функция	Производная	№ п/п	Функция	Производная	№ п/п	Функция	Производная
	C (постоянная)			ex	ex		ctg x
	(n – постоянная)						arcsin x
	x			ln x			arccos x
				sin x	cos x		arctg x
				cos x	–sin x		arcctg x
	ax, (a > 0)	ax ln a		tg x			lg x

Порядок выполнения работы.

1)Изучите примеры нахождения производных.

Пример 1.Найдите производную функции:

1) ; 2) 3)

Решение 1) 2) Учитывая, что ; имеем 3) Учитывая, что имеем

Пояснения В задании 1 надо найти производную суммы по формуле ; в задании 2 – производную произведения в задании 3 – производную частного Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу , а в задании 2 учесть, что при вычислении производной 2x постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной.

Пример 2.Вычислите значение производной функции в точках х = 4 и х = 0,01.

Решение

Пояснения Для нахождения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной следует учесть, что заданную разность можно рассматривать, как алгебраическую сумму выражений х2 и , а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель ( - 5).

Пример 3. Найдите значения х, при которых производная функции равна 0.

Решение   Тогда Ответ: х = 2.

Пояснения Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную данной функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Пример 4.Найдите производную функции:

1) 2)

Решение   1) Учитывая, что получаем

Пояснения В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент х, а выражение с этим аргументом (тоже функция от х). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций.

2) Выполните задания.

1 вариант

Уровень.

1) Найти соответствие между функцией и её производной.

1. С	2.	3. х	4.	5.	6.
7.	8.	9.	10.	11.	12.
13.	14.	15.	16.	17.	18.
19.	20.	21.	22.	23.	24.
25.	26.	27.	28.	29.	30.
31.	32.	33.	34.	35.	36.

2) Сопоставьте функции её производную.

Функция	Производная
	2х	-2 cosxsinx	cos(x+2)
x2 + 1
sin( x + 2)
lnx
cos2x

Уровень.

3) Вычислите производную функции:

1) у = ; а) х ⁶ ; б) ; в) 7х⁷ .

2) у = х³ + 5 ; а) 4х² +5; б) 3x² + ; в) 3х² + .

3) у = ; а) х ^{- 4} ; б) ; в) .

4) у= ; а ) ; б) - ; в) .

4) Вычислите значение производной функции у = при х = 7.

а	б	в	г

Уровень.

5) Вычислите производную сложной функции f(x) = .