Тема №14.Определённый интеграл, его свойства
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]
Обозначение :
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
1)
2)
3)
4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
Теорема Ньютона – Лейбница.
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
= F(x)
.
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
1.Вычислить определенный интеграл .
Решение.
.
Тема №15.Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла
Вычисление площадей плоских фигур.
![]() |
У
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. Для нахождения суммарной площади используется формула .
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение.
Построим данные параболы.
Y
3
-2 -1 0 1 2 X
Найдем абсциссы точек пересечения. Для этого решим систему
Получим х1 = -1, х2=1.
Фигура ограничена графиками двух функций, следовательно, площадь ее находится по формуле
, где
. Тогда
.
Ответ: .
Тема №16.Нахождение области определения функций двух переменных
Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
1.Найти область определения функции Z=1-x-y.
Областью определения функции Z=1-x-y является множество всех пар чисел (x,y) или D(Z)={(x,y)/xÎR, yÎR}, т.е. вся плоскость xOy, а областью значений этой функции – промежуток (-¥; +¥)
2. Найти область определения функции Z= .
Областью определения функции Z= является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству 1-x
³ 0
(здесь речь идёт лишь о действительных значениях Z) или неравенство x
1, т.е. круг, ограниченный окружностью
=1, включая эту окружность (замкнутый круг). Область значений этой функции – отрезок [0; 1]. D(Z)={(x,y)½
1} и E(Z)=[0;1].