Примеры выполнения заданий

Содержание

Введение……………………………………………………………...4

Индивидуальные задания…………………………………………...5

Теоретические упражнения………………………………………....5

Упражнение 1……………………………………………….5

Упражнение 2……………………………………………….7

Практические задания……………………………………………….9

Задание 1…………………………………………………….9

Задание 2……………………………………………….…..10

Задание 3……………………………………………….…..11

Задание 4……………………………………………….…..12

Задание 5…………………………………………….……..13

Задание 6…………………………………………….……..14

Задание 7…………………………………………….……..15

Задание 8…………………………………………….……..16

Задание 9…………………………………………….……..17

Задание 10…………………………………………….……19

Примеры выполнения заданий……………………………….……20

Пример 1……………………………………………….…..20

Пример 2……………………………………………….…..20

Пример 3……………………………………………….…..20

Пример 4……………………………………………….…..21

Пример 5……………………………………………….…..22

Пример 6……………………………………………….…..24

Пример 7……………………………………………….…..26

Пример 8……………………………………………….…..26

Пример 9……………………………………………….…..29

Список рекомендуемой литературы………………………………30

Введение

Данная методическая разработка является составной частью функционирующей в Юго-Западном государственном университете рейтинговой интенсивной технологии модульного обучения и предназначена для организации и контроля индивидуальной самостоятельной работы студентов.

Разработка подготовлена для студентов технических специальностей и направлений подготовки, изучающих дисциплины «Алгебра и геометрия», «Алгебра и теория чисел», где предполагается детальное изучение тем «Комплексные числа» и «Многочлены от одной переменной». Она содержит как индивидуальные задания, так и методические указания по их выполнению. Студентам предлагается выполнить теоретические упражнения и практические задания на действия с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной формах записи, представление комплексных чисел точками комплексной плоскости, нахождение корней многочленов второй, третьей и четвертой степени во множестве комплексных чисел, вывод свойств комплексных чисел и многочленов.

В каждом задании предложено 20 вариантов задач, выбор варианта осуществляется согласно номеру n в журнале.

Выполнение работы разделяется по трем уровням сложности.

Уровень сложности	Теоретические упражнения	Практические задания
Первый	1 под номером n	1, 3, 4, 5, 7
Второй	1, 2 под номером n	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
Третий	1,2 под номером n	Все

Выбранный уровень влияет на общее количество баллов, получаемых за модуль.

Разработку можно использовать при выполнении домашних заданий и при подготовке к экзамену.

Список литературы отражает некоторые учебные пособия, которые рекомендуется использовать при выполнении модуля.

Индивидуальные задания

Теоретические упражнения

Упражнение 1

1. Доказать, что модуль суммы комплексных чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел:

.

2. Доказать, что для комплексных чисел z₁ и z₂ верно неравенство: .

3. Доказать, что сложение комплексных чисел коммутативно:

.

4. Доказать, что сложение комплексных чисел ассоциативно:

.

5. Доказать, что умножение комплексных чисел коммутативно:

.

6. Доказать, что сложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют закону дистрибутивности:

.

7. Доказать, что для комплексного числа справедливо утверждение:

.

8. Доказать формулу Муавра в тригонометрической форме:

если , то .

9. Доказать, что сумма комплексно-сопряженных чисел является действительным числом.

10. Доказать, что произведение комплексно-сопряженных чисел является действительным числом.

11. Доказать, что разность комплексно-сопряженных чисел в общем виде не является действительным числом.

12. Доказать, что модули комплексно-сопряженных чисел равны.

13. Доказать, что комплексное число, сопряженное сумме комплексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных слагаемым:

.

14. Доказать, что комплексное число, сопряженное произведению комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных сомножителям:

.

15. Доказать, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел:

.

16. Доказать, что модуль частного комплексных чисел равен частному модулей этих чисел:

.

17. Доказать, что комплексное число, сопряженное частному двух данных комплексных чисел, равно частному чисел, сопряженных данным:

.

18. Доказать формулу Эйлера:

.

19. Доказать формулу Эйлера:

.

20. Доказать верность равенства:

.

Упражнение 2

1. Доказать, что многочлен с положительными коэффициентами не может иметь положительных корней.

2. Доказать, что если несократимая дробь является корнем уравнения с целыми коэффициентами

,

то число p есть делитель свободного члена а₀, а число q есть делитель старшего коэффициента а_n.

3. Доказать, что если – комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то также корень этого многочлена.

4. Доказать, что комплексно сопряженные корни и многочлена с действительными коэффициентами имеют одинаковую кратность.

5. Доказать, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

6. Доказать, что если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, – целые.

7. Доказать, что любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

8. Доказать, что число -1 тогда и только тогда является корнем многочлена, когда сумма коэффициентов многочлена, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

9. Доказать, что сумма коэффициентов многочлена равна .

10. Доказать, что любой многочлен степени с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с отрицательным дискриминантом.

11. Доказать, что любое кубическое уравнение можно свести к неполному уравнению вида .

12. Доказать, что если для кубического уравнения выражение положительно, то уравнение имеет 3 различных действительных корня.

13. Доказать, что если для кубического уравнения выражение отрицательно, то уравнение имеет 1 действительный и 2 комплексно сопряженных корня.

14. Доказать, что если для кубического уравнения выражение равно 0, то уравнение имеет 3 действительных корня, причем как минимум 2 из них совпадают.

15. Доказать, что если х₁, х₂, х₃ – корни уравнения , то

16. Доказать, что если х₁, х₂, х₃ – корни уравнения , то

17. Доказать, что если х₁, х₂, х₃ – корни уравнения , то

18. Доказать, что любое уравнение четвертой степени можно свести к неполному уравнению вида .

19. Доказать, что число с тогда и только тогда является корнем многочлена , когда Р(х) делится на .

20. Доказать, что , где

х₁, х₂, х₃ – корни уравнения .

Практические задания

Задание 1.

Выполнить указанные действия

Таблица 1.

n	Задание	n	Задание
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Задание 2.

Найти действительные решения уравнения

Таблица 2.

n	Задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Задание 3.

Дать геометрическое описание множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанному условию[1]

Таблица 3.

n	Задание	n	Задание
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Задание 4.

Представить комплексные числа z₁ и z₂ в тригонометрической и экспоненциальной формах и изобразить точками на комплексной плоскости

Таблица 4.

n	Задание	n	Задание
1.	,	2.	,
3.	,	4.	,
5.	,	6.	,
7.	,	8.	,
9.	,	10.	,
11.	,	12.	,
13.	,	14.	,
15.	,	16.	,
17.	,	18.	,
19.	,	20.	,

Задание 5.

Для комплексных чисел z₁ и z₂, записанных в тригонометрической форме, из задания 4, выполнить указанные действия.

Таблица 5.

n	Задание	n	Задание
1.	, ,	2.	, ,
3.	, ,	4.	, ,
5.	, ,	6.	, ,
7.	, ,	8.	, ,
9.	, ,	10.	, ,
11.	, ,	12.	, ,
13.	, ,	14.	, ,
15.	, ,	16.	, ,
17.	, ,	18.	, ,
19.	, ,	20.	, ,

Задание 6.

Решить задачу, используя формулу Муавра (в вариантах 1–10) или формулы Эйлера (в вариантах 11–20)

Таблица 6

n	Задание
1.	Выразить через
2.	Выразить через и
3.	Выразить через и
4.	Выразить через
5.	Выразить через и
6.	Выразить через и
7.	Выразить через
8.	Выразить через
9.	Выразить через
10.	Выразить через
11.	Выразить через косинусы кратных дуг
12.	Выразить через синусы кратных дуг
13.	Выразить через косинусы и синусы кратных дуг
14.	Выразить через косинусы и синусы кратных дуг
15.	Вычислить сумму
16.	Вычислить сумму
17.	Вычислить сумму
18.	Вычислить сумму
19.	Вычислить сумму
20.	Вычислить сумму

Задание 7.

Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на множители.

Таблица 7

n	Задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Задание 8.

Найти корни многочлена четвертой степени (с действительными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на множители.

Таблица 8

n	Задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Задание 9.

Составить многочлен по заданным условиям.

Таблица 9

n	Задание
1.	Многочлен с действительными коэффициентами третьей степени, если и – два из его корней
2.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2 и – один из других корней многочлена
3.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень -2 кратность
4.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2
5.	Многочлен с действительными коэффициентами третьей степени, если и – два из его корней
6.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень -1 i кратность
7.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если и – два из его корней
8.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2
9.	Многочлен с действительными коэффициентами третьей степени, если и – два из его корней
10.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень 1+i 1-i кратность

Продолжение таблицы 9

n	Задание
11.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2 и – один из других корней многочлена
12.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень -1 кратность
13.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2 и – один из других корней многочлена
14.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2
15.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень -1 2i кратность
16.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если и – два из его корней
17.	Многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2
18.	Многочлен с действительными коэффициентами третьей степени, если и – два из его корней
19.	Многочлен с действительными коэффициентами третьей степени, если и – два из его корней
20.	Многочлен, если все его корни и соответствующие их кратности приведены в таблице: корень -4 i кратность

Задание 10.

Решить уравнение третьей степени на множестве комплексных чисел, используя формулы Кардано.

Таблица 10

n	Задание	n	Задание
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Примеры выполнения заданий

Пример 1.