Основные свойства функции

Теорема обратная теореме Виета для квадратного уравнения (с доказательством)

Теорема.

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.

Доказательство.

После замены в уравнении x2+p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x1 и x2, оно преобразуется в равносильное уравнениеx2−(x1+x2)·x+x1·x2=0.

Подставим в полученное уравнение вместо x число x1, имеем равенствоx12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0, которое при любых x1 и x2 представляет собой верноечисловое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=x12−x12−x2·x1+x1·x2=0. Следовательно, x1 – корень уравненияx2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, x1 – корень и равносильного ему уравненияx2+p·x+q=0.

Если же в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0 подставить вместо x число x2, то получим равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это верное равенство, так какx22−(x1+x2)·x2+x1·x2=x22−x1·x2−x22+x1·x2=0. Следовательно, x2 тоже является корнем уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравненияx2+p·x+q=0.

На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

Функция. Определение функции. Определение числовой функции. Способы задания функции. График функции. Область определения, область значения функции.

Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

Основные свойства функции - student2.ru

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

Основные свойства функции - student2.ru

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом Основные свойства функции - student2.ru , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

Основные свойства функции - student2.ru

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Основные свойства функции - student2.ru

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

Основные свойства функции - student2.ru

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) Основные свойства функции - student2.ru f(Xmax).

Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Основные свойства функции - student2.ru

Хmax – точка максимума
Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) Основные свойства функции - student2.ru f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Основные свойства функции - student2.ru

Xmin – точка минимума
Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Основные свойства функции - student2.ru

Х123 – нули функции y = f(x).

Если каждому элементу Основные свойства функции - student2.ru из множества Основные свойства функции - student2.ru по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент Основные свойства функции - student2.ru из множества Основные свойства функции - student2.ru , то соответствие Основные свойства функции - student2.ru называется функцией, заданной на множестве Основные свойства функции - student2.ru со значениями из Основные свойства функции - student2.ru . Буква Основные свойства функции - student2.ru в этом обозначении называется знаком функции.

Итак, функция Основные свойства функции - student2.ru (или кратко: Основные свойства функции - student2.ru или Основные свойства функции - student2.ru ) представляет собой тройку объектов: Основные свойства функции - student2.ru , где

· множество Основные свойства функции - student2.ru называется областью задания функции;

· множество Основные свойства функции - student2.ru называется областью значений функции;

· Основные свойства функции - student2.ru — правило, по которому каждому элементу Основные свойства функции - student2.ru сопоставляется некоторый элемент Основные свойства функции - student2.ru .

Обозначенный буквой Основные свойства функции - student2.ru каждый элемент множества Основные свойства функции - student2.ru называется независимой переменной или аргументомфункции. Множество Основные свойства функции - student2.ru при этом называется областью изменения переменной Основные свойства функции - student2.ru .

Элемент Основные свойства функции - student2.ru , соответствующий фиксированному элементу Основные свойства функции - student2.ru называется частным значением функции в точке Основные свойства функции - student2.ru .

Совокупность всех частных значений Основные свойства функции - student2.ru называется множеством значений функции и является подмножеством области значений Основные свойства функции - student2.ru .

Обозначенный буквой Основные свойства функции - student2.ru каждый элемент множества Основные свойства функции - student2.ru есть переменная Основные свойства функции - student2.ru с областью изменения Основные свойства функции - student2.ru .

Фиксированный элемент из области изменения какой-либо переменной называется значением этой переменной.

Область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть задано.

Если на множестве Основные свойства функции - student2.ru задана функция, которая отображает множество Основные свойства функции - student2.ru в другое множество, то множество Основные свойства функции - student2.ru называется областью задания функции.

Более формально, если задана функция Основные свойства функции - student2.ru , которая отображает множество Основные свойства функции - student2.ru в Основные свойства функции - student2.ru , то есть: Основные свойства функции - student2.ru , то

· множество Основные свойства функции - student2.ru называется областью задания функции Основные свойства функции - student2.ru и обозначается Основные свойства функции - student2.ru , или Основные свойства функции - student2.ru (от англ. domain — «область»).

Обычно предполагается, что Основные свойства функции - student2.ru . Пусть теперь Основные свойства функции - student2.ru — такое множество, что для каждого элемента Основные свойства функции - student2.ru задано значение функции Основные свойства функции - student2.ru , а множество Основные свойства функции - student2.ru содержит как множество Основные свойства функции - student2.ru так и точки, в которых функция не задана. В этом случае множество Основные свойства функции - student2.ru называется областью отправления функции, а его подмножество Основные свойства функции - student2.ru называется областью задания функции.

Этот факт коротко записывают в виде: Основные свойства функции - student2.ru .

Числовая функция — это функция, принимающая значения в области вещественных чисел и которая задана на произвольном (чаще всего) метрическом пространстве

Таковы свойства

· дифференцируемости, интегрируемости, суммируемости, измеримости (для произвольных числовых функций);

а, также, свойства

· чётности (нечётности), монотонности (для вещественнозначных функций вещественного переменного);

· аналитичности, многолистности (для комплекснозначных функций комплексного переменного)

Способы задан6ия функции:

· Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

· Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

· Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

· Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией:

точка Основные свойства функции - student2.ru располагается (или находится) на графике функции Основные свойства функции - student2.ru тогда и только тогда, когда Основные свойства функции - student2.ru .

Наши рекомендации