Нормальное уравнение плоскости
Плоскость и прямая в пространстве
Общее уравнение плоскости
Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x0,y0,z0) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис. 1)
Возьмём на плоскости p любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов
и
.
^
Þ (
,
) = 0 (1)
Обозначим радиусы векторы точек
и
, соответственно
и
. Тогда уравнение (2) можно записать так:
. (2)
Получим векторное уравнение плоскости.
Запишем левое уравнение (2) в координатной форме.
=(x0-x, y0-y, z-z0),
=(A, B, C)
( ,
) = 0
A(x-x0) + B(y0-y) + C(z-z0)=0 (3)
Запишем правое уравнение (2) в координатной форме: , (4)
где .
Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости в пространстве, а уравнение (3) – уравнением прямой, проходящей через данную точку.
Рассмотрим, в чём заключаются особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.
1. A=0. В этом случае вектор N=Bj+Ck; он компланарен ортам j и k, т.е. параллелен плоскости Oyz, поэтому соответствующая плоскость будет параллельна оси Ox.
Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy, если С = 0, то плоскость параллельна оси Oz.
2. D=0. Плоскость проходит через начало координат.
3. A=0, B=0 Þ плоскость параллельна плоскости Oxy (перпендикулярна оси Oz); уравнение такой плоскости приводится к виду z = c.
Аналогично, если A=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Oy; если B=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Ox. Уравнения таких плоскостей приводится соответственно к виду y = b; x = a.
4. A=D=0. Плоскость проходит через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox(A=0) и проходит через начало координат (D=0).
Аналогично, если B=D=0, то плоскость проходит через ось Oy. Если C=D=0, то плоскость проходит через ось Oz.
5. A=B=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxy, её уравнение z = 0.
A=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxz, её уравнение z = 0.
B=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, её уравнение x = 0.
Уравнение в отрезках
Пусть в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 , A¹0 , B¹0 , C¹0 , D¹0,
т.е. плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.
Преобразуем уравнение следующим образом: Ax + By + Cz = -D
, обозначив a = (-D/A); b = (-D/B); c = (-D/C), будем иметь
(5)
Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости
Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра.
Рис. 2
Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде =
; оба способа равнозначны, поскольку
=x
+ y
+ z
.
При любом положении точки М на плоскости p проекция её радиуса вектора на направление вектора
всегда равна p:
. Но это равенство можно записать используя скалярное произведение.
= (r,n) - p = 0 (6)
Это также векторное уравнение плоскости p.
От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению.
Обозначим через a, b, g углы образованные единичным вектором с ортами
,
,
. Тогда cosa, cosb и cosg будут координатами этого вектора:
=
cosa +
cosb +
cosg (7)
Кроме того, известно, что = x
+ y
+ z
(8)
Выразим ( -
) - p = 0 в координатной форме:
( ,
) - p = x cosa + y cosb + z cosg – p = 0 (9)
Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.
Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0 (10)
Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?
Так как уравнения (6) и (7) определяют одну и ту же плоскость p, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.
(11)
при некотором l, из равенств (11) определяем l: ôlô= (9)
Знак l определяем для случая D¹0 из четвёртого равенства (11); так как p>0, то lD<0 и, следовательно, l имеет знак, противоположный знаку D.
Определение: Число l, имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (10). При D=0 можно знак l выбрать произвольно.
Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (10) получить нормальное уравнение плоскости (9), надо обе части уравнения (10) умножить на нормирующий множитель этого уравнения.