Элементарные треугольные матрицы.
Условия применимости метода Гаусса
Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители.
В предыдущем параграфе было показано, что метод Гаусса преобразует исходную систему уравнений в эквивалентную систему , где верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали. Выясним теперь, как связаны между собой векторы правых частей и . Для этого обратимся к формулам (5.15) и (5.16), из которых последовательно получим (доказать)
, , ...
и вообще
, , (5.17)
где числовые коэффициенты, причем . Соотношение (5.17) можно записать в матричном виде
, (5.18)
где нижняя треугольная матрица с элементами , на главной диагонали. Напомним, что основное допущение при формулировке метода Гаусса состояло в том, что все . Поэтому на диагонали матрицы стоят ненулевые элементы, и, следовательно, матрица имеет обратную.
Подставляя в уравнение выражение для в виде , приходим к уравнению или, что то же самое, к уравнению
. (5.19)
Сопоставляя (5.19) с исходным уравнением (5.1), приходим к выводу, что в результате применения методы Гаусса получено разложение исходной матрицы в произведение , где нижняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали, а верхняя треугольная матрица с единичной главной диагональю.
Таким образом, смысл метода Гаусса состоит в следующем. Пусть заданы матрица и вектор . Сначала проводится разложение в произведение двух матриц . Затем последовательно решаются две системы уравнений
, (5.20)
с треугольными матрицами, откуда и находится искомый вектор . Разложение соответствует прямому ходу метода Гаусса, а решение системы (5.20) – обратному ходу.
Далее, следуя стандартным обозначениям, нижние треугольные матрицы будем обозначать буквой (lower – нижний) и верхние треугольные – буквой (upper – верхний).
2 Теорема об -разложении.
Обозначим через угловой минор порядка матрицы , т.е.
, , … , .
Теорема 1 (теорема об -разложении). Пусть все угловые миноры матрицы отличны от нуля, , . Тогда матрицу можно представить, причем единственным образом, в виде произведения
, (5.21)
где нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами, а верхняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами.
Без доказательства.
Следствие. Метод Гаусса можно применять тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы отличны от нуля.
Элементарные треугольные матрицы.
Рассмотрим способ построения треугольных матриц. Для этого введем так называемые элементарные треугольные матрицы.
Матрица называется элементарной нижней треугольной матрицей, если она имеет вид
.
В матрице все элементы главной диагонали кроме равны единице. Из остальных элементов отличными от нуля могут быть только элементы -го столбца, расположенные ниже . Обратной к является элементарная нижняя треугольная матрица (доказать)
.
Рассмотрим для наглядности сначала систему , состоящую из трех уравнений:
(5.22)
После первого шага исключения по методу Гаусса преобразованная система принимает вид
,
, (5.23)
.
Отсюда видно. Что матрица системы (5.23) получается из исходной матрицы путем умножения слева на элементарную матрицу
. (5.24)
так что (доказать). Тогда систему (5.23) можно записать в виде
.
Матрицу (5.24) будем называть элементарной треугольной матрицей, соответствующей первому шагу исключения метода Гаусса.
Перепишем систему (5.23) в виде
,
, (5.25)
и осуществим второй шаг метода Гаусса, т.е. исключим неизвестное из последнего уравнения. Тогда получим систему вида
,
, (5.26)
Нетрудно видеть, что переход от (5.25) к (5.26) осуществляется путем умножения системы (5.25) на элементарную треугольную матрицу (доказать)
. (5.27)
Таким образом, после второго шага исключения мы приходим к системе
, (5.28)
где матрицы и определены согласно (5.24) и (5.27). Наконец, умножая (5.28) на матрицу
,
получаем систему
, (5.29)
матрица которой является верхней треугольной матрицей с единичной главной диагональю. Отсюда следует, в частности, что , где нижняя треугольная матрица. Таким образом, -разложение матрицы может быть получено с помощью элементарных треугольных матриц: сначала строятся матрицы , , и вычисляется и затем находится . Отметим, что матрицы имеют простой вид (доказать):
, ,
, ,
причем на диагонали матрицы расположены ведущие элементы метода исключения.
Запись метода Гаусса в виде (5.29) детально описывает процесс исключения.
Все сказанное выше переносится без изменения и на системы уравнений произвольного порядка. Процесс исключения можно записать формулой
, (5.30)
где элементарная нижняя треугольная матрица на -м шаге исключения имеет вид
.
Матрица осуществляет исключение неизвестного из уравнений с номерами , , ..., . Матрицы существуют и имеют вид
.