Вопрос 4. Производные высших порядков

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Производная сложной и обратной функций.
2. Производные высших порядков.

Введение

Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием. При дифференцировании функции нет необходимости использовать определение производной. Вместо этого можно применять ряд правил, с помощью которых дифференцирование функций, обычно встречающихся в анализе, сводится к чисто механическим процедурам.

Вопрос 1. Производная сложной и обратной функций

Дифференцирование сложной функции

Пусть даны функции у = f(u) и u = φ(х), тогда у = f(φ(х)) - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Т.1.1. (производная сложной функции)

Если функция u = φ(х) имеет производную в некоторой точке х, а функция у = f(u) имеет производную в соответствующей точке u = φ(х), то сложная функция у = f(φ(х)) имеет производную в точке х, которая вычисляется по формуле

.

Правило нахождения производной сложной функции.

Производная сложной функции по независимой переменной равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Коротко: производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на случай суперпозиции трех и большего числа дифференцируемых функций. Например, если у = f(u), u = φ(v), v = g(х), то

.

Дифференцирование обратной функции

Пусть у = f(х) и х = g(у) - взаимно-обратные функции.

Т.1.2. (производная обратной функции)

Если функция у = f(х) строго монотонна на интервале (а;b) и имеет в произвольной точке х этого интервала производную , то в соответствующей точке у обратная функция х = g(у) имеет производную , причем справедлива формула

.

Правило нахождения производной обратной функции

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Вопрос 4. Производные высших порядков

Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же функция от х и называется производной первого порядкаили первой производной. Возможно, что эта функция сама имеет производную.

О.4.1. Производная от первой производной функции у = f(х) называется производной второго порядка или второй производнойданной функции и обозначается одним из символов

Таким образом

О.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется производной третьего порядка или третьей производнойданной функции и обозначается одним из символов

Таким образом

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной функции у = f(х) называется производной n-го порядка или n-й производнойданной функции и обозначается одним из символов

Таким образом

Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках.

Пример. у^V или у⁽⁵⁾ - производная 5-го порядка.

Для некоторых элементарных функций можно вывести формулы нахождения производных любого порядка.

Пример. Найти производную n-го порядка функции у = а^х.

Решение

…..,